1 相似三角形添加辅助线的方法举例 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于D． 求证： BC2＝2CD·AC． 例2．已知梯形 ABCD 中，BCAD//， ADBC3，E 是腰 AB 上的一点，连结CE （1）如果ABCE ，CDAB ， AEBE3，求B的度数； （2）设 BCE和四边形 AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132SS ，试求AEBE的值 例3．如图4-1，已知平行四边 ABCD 中，E 是 AB 的中点，ADAF31，连 E、F 交 AC 于G ．求AG ：AC的值． ABCD 2 例4、如图4— 5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF 的长． 例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证： CDBDACAB ． 3 相似三角形添加辅助线的方法举例答案 例1 ： 已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于D． 求证： BC2＝2CD·AC． 分析：欲证 BC2＝2CD·AC，只需证BCACCDBC 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同． 证法一（构造2CD）：如图，在AC 截取DE＝DC， BD⊥AC 于D， ∴BD 是线段CE的垂直平分线， ∴BC=BE，∴∠C=∠BEC， 又 AB＝AC， ∴∠C=∠ABC． ∴ △BCE∽△ACB． ∴ BCACCEBC ， ∴BCACCDBC 2 ∴BC2＝2CD·AC． 证法二（构造2AC）：如图，在CA 的延长线上截取AE＝AC，连结BE， AB＝AC， ∴ AB＝AC=AE． ∴∠EBC=90°， 又 BD⊥AC． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， ∴∠E=∠DBC， ∴△EBC∽△BDC ∴ BCCECDBC 即BCACCDBC2 ∴BC2＝2CD·AC． 证法三（构造BC21） ：如图，取BC 的中点E，连结AE，则 EC=BC21． 又 AB=AC， ∴AE⊥BC，∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE∽△BCD． ∴ BCACCDCE 即BCACCDBC21． ∴BC2＝2CD·AC． 证法四（构造BC21）：如图，取BC 中点E，连结DE，则 CE=BC21 ． BD⊥AC，∴BE=EC=EB， ∴∠EDC=∠C 又 AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∴△ABC∽△EDC． ABCDEABCDEABCDEABCDEABCD 4 ∴ ECACCDBC J即BCACCDBC21． ∴BC2＝2CD·AC． 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造...
