相似三角形的性质 知识精要 相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，形似比用字母k 表示。如△ABC∽△A'B'C'，则kACCACBBCBAAB'''''',注意：相似比具有方向性，若写作△A'B'C'∽△ABC，则相似比为k1 。 根据合比容易得到“相似三角形的周长比等于相似比”，记△ABC 和△A'B'C'的周长分别为ABCC和'''CBAC，则kCCCBAABC''':. 类型一 相似比与周长比 在有关相似三角形的计算问题中，通过对应边的比例式建立方程式常用的方法。 例题精解 例 1 如图，已知等边三角形ABC 的边长为6，过重心 G 作DE//BC,分别交 AB,AC于点 D,E.点 P 在 BC 上，若△BDP 与△CEP 相似，求 BP 的长。 点评：这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。图中只能确定一组相等的角（∠B=∠C）为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论。 【举一反三】 1、如图，△ABC 中，CD 是角平分线，E 在AC 上，CD2=CB·CE. （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）如果 AD=6，AE=4，DE=5，求 BC 的长。 点评：先根据判定定理 2 得到△BCD∽△DCE，再根据判定定理 1 得到△ADE∽△ACD，这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。 2、如图，△ABC 中,DE//BE,分别交 AB 于 D，交 AC 于 E。已知 AB=7，BC=8，AC=5，且△ADE 与四边形 BCED 的周长相等，求 DE 的长。 点评：无论是以相似比k 作为未知量，还是以DE=x 作为未知量，目的都是为了把其他的量用k 或x 来表示，根据题设的等量关系列方程。这一解题思路可称为“方程思想”，这是用代数方法解决几何问题的基本思想。 3、如图，正三角形 ABC 的边长为1，点E,F 分别在边 AB,AC 上，沿 EF 将△AEF翻折，使点A 恰好落在 BC 上的点D.已知AE:AF=5:4，求 BD 的长。 点评：本题的难点是将比值45AFAE转化为△BED和△CDF的相似比和周长比。 类型二 相似比与对应线段之比 如图△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，若 AH,AM,AE 和 A'H',A'M',A'E'分别是△ABC 和△A'B'C'的高、中线和角平分线，则kEAAEMAAMMHAAH''''''。 广义地说，所谓“对应线段”应当包括两个相似三角形对应位置上的所有对应线段，如上图2 中BE 和B'E'，M E 和M 'E'等；而相似三角形对对应位置上的所有三角形也都是相似三角形，如图2 中的△ABE∽△A'B'E',△AME∽△A'M'E'...
