我的离散数学学习心得 (1) -- 一类抽象代数题的解题思路 学习离散数学已经有一段时间了，书读了不少，题也做了一些。最近又常在群里和研友们讨论离散数学中的问题。所以对离散数学也有了一些心得和体会。在今后的一段时间里，我会不定期的写一些小的经验总结，以供后来人参考。：） 因为是“心得体会”，所以多半是想到什么写什么，组织和条理方面可能会比较差。还望各位看官多多包涵。；） 这次我们来讨论一类代数问题的解题思路。 问题：设 R 为含幺环，求证：对任意 a,b∈R，若 1-ab 可逆，则 1-ba 也可逆。 分析： 我们知道，证明问题的方法大致可以分为两类：构造性证明和存在性证明。前者要求给出一个切实的方法，找出符合命题要求的元素（在这道题中，就是找到 1-ba 的逆元）。后者则只证明这样的元素必然存在，但并不给出切实的寻找方法。反证法是存在性证明的基本方法。 无论打算采用是哪种 证明方法，确 认 一下 我们可以使 用的前提 条件 总是必要的。 就这道题而 言 ，我们可以使 用这些前提 ： 1、 R 是含幺环。这就意味 着R 对加 法构成 Abel 群（从 而 我们可以自 由 地 使 用加 法交 换 律 、 加 法消 去律 、 加 法逆元等 ），R 对乘 法构成 独 异 点 （从 而 可以使 用乘 法单 位元1），当 然还有乘 法对加 法的分配 律 。 2、 1-ab 是可逆的，这就是说 ，存在c∈R，使 得c(1-ab)=(1-ab)c=1。移 项 后得到：cab=abc=c-1。 需 要注 意的是： 1、 在题设中没 有假 设 R 的可换 性（事 实上 ，如 果 R 可换 的话 ，整 个问题就没 有任何 难 度 了），也没 有假 设 a、 b 是可逆的。所以，在解题时，不能使 用乘 法交 换 律 ，也不能随 便 使 用a、 b 的逆元（除 非 已经证明了它 们的存在性）。 2、 如 果 没 有1-ab 可逆这个条件 ，肯 定是推 不出1-ba 可逆的（我们在环中可以找到太 多的反例 ）。所以，cab=abc=c-1 将 是解题的关 键 。观 察 这个式 子 ，我们注 意到，它 提 供了在c 的参与 下 ，移 动 和消 去 ab的方法。 我们的目 的是，证明存在这样的一个元素d∈R，满 足 (1-ba)d=d(1-ba)=1。 初 看到这道题，我们并不知道使 用构造性证明容 易 还是使 用反证法容 易 。 不过 推 理一下 我们可以发 现 ，如 果 要使 用反证法的话 ，我们需 ...
