离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

1.2 映射的有关概念 习题1 .2 1. 分别计算5.1，1，5.1，5.1，1，5.1. 解 25.1，11，15.1，15.1，11，25.1. 2.下列映射中，那些是双射? 说明理由. (1).3)(,ZZ:xxff (2).1||)(,NZ:xxff (3).1)(,RR:3 xxff (4).1),(,NNN:2121xxxxff (5)).1,()(,NNN:xxxff 解 (1)对于任意对21, xxZ，若)()(21xfxf，则2133xx ，于是21xx ，所以 f 是单射. 由于对任意xZ， 2)(xfZ，因此 f 不是满射，进而 f 不是双射. (2)由于2,2Z 且3)2()2( ff，因此 f 不是单射. 又由于 0N，而任意xZ 均有01||)( xxf，于是 f 不是满射. 显然，f 不是双射. (3)对于任意对21, xxR，若)()(21xfxf，则113231xx，于是21xx ，所以 f 是单射. 对于任意yR，取31)1( yx，这时 yyyxxf1)1(1)1(1)(3313， 所以 f 是满射. 进而 f 是双射. (4)由于)1,2(),2,1(NN 且)1,2()2,1(，而4)1,2()2,1( ff，因此 f 不是单射. 又由于 0N，而任意),(21 xxNN 均有01),(2121xxxxf，于是 f 不是满射. 显然，f 就不是双射. (5)由于21, xxN，若)()(21xfxf，则)1,()1,(2211xxxx，于是21xx ，因 此 f 是 单 射 . 又 由 于)0,0(N  N ，而 任 意xN 均 有)0,0()1,()(xxxf，于是 f 不是满射. 因为 f 不是满射，所以 f 不是双射. 3.对于有限集合A 和B，假定BAf:且||||BA ，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明. 证()因为f 是单射，所以|)(|||AfA . 由于||||BA ，所以|||)(|BAf. 又因为B 有限且BAf)(，故 BAf)(，即f 是满射. ()若f 是满射，则 BAf)(. 由于||||BA ，于是|)(|||AfA . 又因为A和B 是有限集合，因此f 是单射. 对于无限集合，上述结论不成立. 例如NN:f，xxf2)(，f 是单射，但f 不是满射. 4.设,:BAf试证明: (1).fIfB  (2).ffIA 特别地，若AAf:，则ffIIfAA. 证 (1)对于任意Ax ，由于 Bxf)(，所以)())(())((xfxfIxIfBB，因此.fIfB  (2)对于任意Ax ，由于xxIA)(，所以)())(())((xfxIfxfIAA...