滇宏教育内部资料 第六讲：等差、等比数列的运用1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和性质：是等差数列（1）若，则（2）数列{a2 n−1},{a2n},{a2n+1}仍为等差数列，仍为等差数列，公差为n2 d ；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为 0 的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. （6） 项数为偶数2n的等差数列，有n nan nanSnnSn na1滇宏教育内部资料S2n=n(a1+a2n)=n(a2+a2n−1)=⋯=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项)S偶−S奇=nd ，S奇S偶=anan+1 .（7）项数为奇数2n−1的等差数列，有S2n−1=(2n−1)an(an为中间项)， S奇−S偶=an ，S奇S偶= nn−1 .2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或.前项和：（要注意！）性质：是等比数列（1）若，则（2）仍为等比数列,公比为.注意：由求时应注意什么？时，；时，.3．求数列通项公式的常用方法 nan namnpq 232nnnnnSSSSS，，……nS2滇宏教育内部资料（1）求差（商）法如：数列，，求 解时，，∴ ①时， ②①—② 得：，∴，∴［练习］数列满足，求注意到，代入得；又，∴是等比数列，时，（2）叠乘法 如：数列中，，求解 ，∴又，∴.（3）等差型递推公式由，求，用迭加法 nana1n 2n nana2n nanana3滇宏教育内部资料时，两边相加得∴（4）等比型递推公式（为常数，）可转化为等比数列，设令，∴，∴是首项为为公比的等比数列∴，∴（5）倒数法如：，求由已知得：，∴∴为等差数列，，公差为，∴，∴2n na4滇宏教育内部资料(附：公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：是公差为的等差数列，求解：由∴［练习］求和：（2）错位相减法若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比. 如： ① nad nannSq nb5滇宏教育内部资料 ②①—②时，，时，（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 相加［练习］已知，则 由∴原式求...
