空间向量与立体几何(建系途径)

1 A B C D E A1 B1 C1 D1 x y z 空间向量与立体几何 建立空间直角坐标系的途径 途径一： 利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系． 垂直 线线垂直 线面垂直 面面垂直 1、如图，在长方体ABCD 1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB 上移动。建立如图所示的空间直角坐标系。 （1）证明：11D EA D； （2）求平面1ACD 的一个法向量及单位法向量。 解：设AEa，则1 (1 ,0 ,1 )A，1 (0 ,0 ,1 )D，(1 , ,0 )Ea， (1 ,0 ,0 )A，(0 ,2 ,0 )C。 （Ⅰ）证明：由1(1 ,0 ,1 )DA ，1(1 ,1, 1)D Ea， 11(1 ,0 ,1 ) (1 ,1, 1)110DA D Ea  ，有11DAD E，于是11D EA D。 （Ⅱ）( 1 ,2 ,0 )AC  ，1( 1 ,0 ,1 )AD  。设平面1ACD 的法向量为( , ,1 )nx y，单位法向量为0n ，由100n ACn AD   ( , ,1 ) ( 1 ,2 ,0 )0( , ,1 ) ( 1 ,0 ,1 )0x yx y  2010xyx   ，解得112xy。于是1(1 ,,1 )2n 。 2 、如图，四棱锥 PABCD中，底面ABCD 为矩形，PD  底面ABCD，AD=PD， E，F 分别 CD、PB 的中点。 （Ⅰ）求证：EF 平面PAB； （Ⅱ）设AB=2 BC，求AC 与平面AEF 所成角的正弦值。 设直线,l m 的方向向量分别为 ,a b ，平面 ,  的法向量分别为,u v，则 l ⊥ a ∥ uaku； l ⊥ m a ⊥ b0a b；  ⊥  u ⊥ v.0vu A B C D E F x y P 2 A B C D E F x y z P 图 5 法1： （Ⅰ）证明：取 PA 中点 G，连结 FG，DG， 。 法2：证明：建立空间直角坐标系（如图5），设 AD=PD=1，AB=2a （0a ）， 则 E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), 1 1( ,, )2 2F a. 得1 1(0,, )2 2EF ，(2 ,1, 1)PBa，(2 ,0,0)ABa。 由1 1(0,, ) (2 ,0,0)02 2EF ABa，得 EFAB，即 EFAB， 同理 EFPB，又 ABPBB， 所以，EF  平面 PAB。 （Ⅱ）解：由2ABBC，得 22a ，即22a 。得2(,0,0)2E，2 1 1(,, )22 2F，( 2,0,0)C。 有( 2, 1,0)AC ，2(, 1,0)2AE ，...