课时作业(十五) [学业水平层次] 一、选择题 1．设a、b、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝a·a；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有( ) A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【解析】 由 于 数 量 积 不 满 足 结 合 律 ， 故 ①不 正 确 ， 由 数 量 积 的性 质 知 ② 正 确 ， ③ 中 |a|2·b＝ |b|2·a 不 一 定 成 立 ， ④ 运 算 正 确 ． 【答案】 D 2．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a 与b 的夹角〈a，b〉＝( ) A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【解析】 a＋ b＋ c＝ 0，∴a＋ b＝ － c，∴(a＋ b)2＝ |a|2＋ |b|2＋ 2a·b＝ |c|2， ∴a·b＝ 32， ∴cos〈 a， b〉 ＝ a·b|a||b|＝ 14. 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，连结AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC→与BD→ B.DA→与PB→ C.PD→与AB→ D.PA→与CD→ 【解析】 用 排 除 法 ， 因 为 PA⊥平面 ABCD， 所以 PA⊥CD， 故PA→·CD→ ＝0， 排 除 D；因 为 AD⊥AB， PA⊥AD， 又 PA∩AB＝A， 所以AD⊥平面 PAB， 所以 AD⊥PB， 故DA→·PB→＝0， 排 除 B， 同理PD→·AB→＝0， 排 除 C. 【答案】 A 4. 如图 3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于 a，点 E，F，G 分别是 AB，AD，DC 的中点，则下列向量的数量积等于 a2 的是( ) 图 3-1-21 A．2BA→·AC→ B．2AD→·DB→ C．2FG→·AC→ D．2EF→·CB→ 【解析】 2BA→·AC→＝－a2， 故 A 错；2AD→·DB→ ＝－a2， 故 B 错；2EF→·CB→＝－12a2， 故 D 错；2FG→·AC→＝AC→2＝a2， 故只有 C 正确． 【答案】 C 二、填空题 5．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________. 【解析】 |2a－ 3b|2＝ (2a－ 3b)2＝ 4a2－ 12a·b＋ 9b2 ＝ 4×|a|2＋ 9×|b|2－ 12×|a|·|b|·cos 60°＝ 61， ∴|2a－ 3b|＝61. 【答案】 61 6．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量 a＋λb 与 λa－2b的夹角为钝角的实数 λ 的取值范围是________． 【解析】 由 题 意 知 a＋ λb·λa－ 2b<0，cos〈a＋ λb， λa－ 2b〉≠－ 1. ...
