立体几何证明题专题

1 立体几何证明题 考点1：点线面的位置关系及平面的性质 例1.下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________． 【解析】 由公理3 知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2 可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示． 在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但 AB 与 CB 不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但 BB′与 CD 不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错． 【答案】 ④ 2.若P 是两条异面直线l、m 外的任意一点，则( ) A．过点P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B．过点P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直 C．过点P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D．过点P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 答案 B 解析 对于选项 A，若过点P 有直线n 与 l，m 都平行，则l∥m，这与 l，m 异面矛盾． 对于选项 B，过点P 与 l、m 都垂直的直线，即过 P 且与 l、m 的公垂线段平行的那一条直线． 对于选项 C，过点P 与 l、m 都相交的直线有一条或零条． 对于选项 D，过点P 与 l、m 都异面的直线可能有无数条． 2 3.已知异面直线a，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c 一定 A．与 a，b 都相交 B．只能与 a，b 中的一条相交 C．至少与 a，b 中的一条相交 D．与 a，b 都平行 答案 C 解析 若 c 与 a，b 都不相交，则 c 与 a，b 都平行，根据公理 4，则 a∥b，与 a，b 异面矛盾． 考点 2：共点、共线、共面问题 例 1.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 【解析】 ①在A 中易证 PS∥QR， ∴P、Q、R、S 四点共面． ②在C 中易证 PQ∥SR， ∴P、Q、R、S ...