第2章质点动力学2

16 2 -1 2 小球在外力作用下，由静止开始从A 点出发作匀加速直线运动，到达B 点时撤消外力，小球无摩擦地冲上竖直的半径为R 的半圆环，达到最高点C 时恰能维持在圆环上作圆周运动，并以此速度抛出而刚好落回原来的出发点A 处，如图所示，试求： （1）小球在AB 段运动的加速度大小； （2）小球又落到A 点前的瞬时，切向加速度的大小。 分析 小球在C 点恰能维持圆周运动，重力提供向心力，由此求得Cv ； BC 段机械能守恒，由Cv 求得Bv ， CA 段小球平抛运动，可求C 到 A 的水平距离，即ABS。进一步可由Bv ，ABS求 AB 段小球运动的加速度。小球落到A 点，其在A 点加速度为重力加速度 g ，其在切向方向的投影即为a 。 解 （1）小球达到最高点C 时，恰能维持圆周运动，因而有 mgRmc v gRC v 在BC 段，小球只受重力作功，根据机械能守恒定律，有 RmgmmCB2212122vv 得 gRB5v 小球在CA 段作平抛运动，因而有 2212gtR  gRt4 所以AB 段长为 RtSC2v 在AB 段，小球作匀加速度运动，因而有 aSB22 v 小球在AB 段的加速度为 )m/s(3.1245222gSaBv （2）小球落到A 点瞬时速度的水平、竖直分量分别为 gRC vv11 gRgRggt44v 因而瞬时速度大小为 17 gR52112vvv 小球做平抛运动，落到A 点的加速度即为重力加速度，其方向垂直向下，切向方向 54cosvv 因而切向加速度大小为 gga552cos  说明 本题综合运用了运动学规律，牛顿运动定律、机械能守恒定律。求解本题关键在于分析清楚小球在各段的规律。另外，注意理解小球平抛落到A 点的切向加速度为重力加速度沿切向的分量。 2 -1 3 如图所示，一链静止跨于一光滑圆柱上，圆柱轴为水平，链长为圆柱周长的一半。若轻微扰动，试求当链滑过长为R的一段时的速度（ R 为圆柱体的半径）。 分析 链滑动时，只有重力作功，机械有守恒，由机械能守恒就可求解。 解 设链的线密度为 ，建立坐标如图，取过圆柱中心的水平面为重力势能零点，链滑动前，其势能为 mgyEPd0 其中 ddRm ，cosRy，因此有 gRgREP22π2π22dcos0  当链滑过 R长度时，因链各部分速度相同，其动能为 22221)(2121vvvRRmEk 此时其势能为 2)(d2π2πRgRmgyEP  2)d)(cos(2π2πRgRRRg )2()c o...