第5章渐近分布理论(20110823)

1 第5 章 渐近分布理论 5 .1 大数定律 定义 5 .1 .1 假设 ,,21 XX是同一概率空间),,(PF上的随机变量序列，其期望)(1XE，),(2XE有限。 （1）如果 niipniiXEnXn11)(11 （5.1.1） 则称随机变量序列 ,,21 XX服从弱大数定律。 特别地，如果,,21 XX同分布，)(1XE=),(2XE，则（5.1.1）简化为 pniiXn11 （5.1.2） （2）如果 niisaniiXEnXn1..1)(11 （5.1.3） 则称随机变量序列 ,,21 XX服从强大数定律。 特别地，如果,,21 XX同分布，)(1XE=),(2XE，则（5.1.3）简化为 ..11saniiXn （5.1.4） 定理5 .1 .1 （马尔科夫定理） 假设随机变量序列 ,,21 XX满足条件：对于任意的1n，||nXE，niiX1)(Var，并且 0)(Var1lim12niinXn （5.1.5） 则随机变量序列 ,,21 XX服从强大数定律，即 niipniiXEnXn11)(11 （5.1.6） 2 证明 对于任意0，由马尔科夫不等式可知 )|)((|)|)(11(|1111nXEXPXEnXnPniiniiniinii ))((Var1 122niiXEn  （5.1.7） 因此，定理结论成立。■ 定理5 .1 .2 （车贝晓夫定理）假设,,21 XX两两独立，方差有界：1,)(VarncXn，则随机变量序列,,21 XX服从强大数定律，即 niipniiXEnXn11)(11 （5.1.8） 证明 由于 ,,21 XX两两独立，1,)(VarncXn，因此 0lim)(Var1lim)(Var1lim1212ncXnXnnniinniin （5.1.9） 满足马尔科夫条件，因此，定理结论成立。■ 定理5 .1 .3（贝努利定理） 假设n 是n 重贝努利试验中某事件 A 出现的次数，以致每次试验中 A出现的概率为 p ，则 pnpn （5.1.10 ） 证明 由于niinX1， ,,21 XX独立同分布，4/1)1()(Var,ppXp)E(Xpi，因此，根据车贝晓夫定理的结果，因此，定理结论成立。■ 备注：在n 重贝努利试验中事件 A 出现的频率，以概率收敛于事件 A 在一次试验中出现的概率。 定理5 .1 .4（泊松定理） 假设n 是n 次独立试验中事件 A 出现的次数，在第i 次试验中事件 A 出现的概率为)10(iipp，,2,1i，则 niipnpnn11 （5.1.11） 证明 由于 ,,21 XX独立同分布，4/1)1()(Var,iipiippXp)E(X，因此，根据车贝晓夫定理的结果...