第5讲角含半角模型

- 1 - 中考数学几何模型 5：角含半角模型 TH 名师点睛 拨开云雾 开门见山 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D，E在BC 上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（1） 作法1：将△ABD 旋转90° 作法2：分别翻折△ABD,△ACE （2）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D 在BC 上，点 E在BC 延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.. - 2 - 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形ABCD 中，点E，F 分别在边BC，CD 上，∠EAF=45°，连接 EF，过点A 作 AG ⊥于 EF 于点G ，则：EF=BE+DF，AG =AD. 图示（1） 作法：将△ABE 绕点A 逆时针旋转 90° （2）如图，在正方形ABCD 中，点E，F 分别在边CB，DC 的延长线上，∠EAF=45°，连接 EF，则：EF=DF-BE. 图示（2） 作法：将△ABE 绕点A 逆时针旋转 90° （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F 分别在边BC，CD 上，∠EAF= 12 ∠BAD，连接 EF，则：EF=BE+DF. 图示（3） 作法：将△ABE 绕点A 逆时针旋转∠BAD 的大小 - 3 - 典题探究 启迪思维 探究重点 例题 1 . 如图，正方形ABCD 的边长为4，点E，F 分别在AB，AD 上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则 CF的长为 4 ． 【解答】解：如图，延长FD 到 G，使 DG＝BE；连接 CG、EF； 四边形ABCD 为正方形，在△BCE 与△DCG 中，，∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°， 在△GCF 与△ECF 中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF， CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1， 设 AF＝x，则 DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝ ， ∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即 AF＝，∴DF＝4﹣＝， ∴CF＝＝＝4， 故答案为：4． 变式练习>>> 1．如图四边形ABCD 中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E 为CD 上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE 的面积...