第8章_特征值问题变分原理

111 第8 章 特征值问题的变分原理 8.1 Sturm-Liouville 微分方程与特征值 在求解微分方程、结构的稳定性或者求结构的固有频率时，我们经常会遇到下面的微分算子A 01dd ( )( )[ ( )]( ) ( ),(,)ddy xAy xp xq x y xxx xxx  (8.1.1) 其中)(),(xqxp都是已知的函数， 0)(xp，那么方程 ( )( ) ( )Ay xw x y x (8.1.2) 称为Sturm-Liouville 方程，其中权函数 0)(xw，当且仅当在01(,)x x 的一个零测度集上等号成立。当给定了齐次边界条件后，只有某一些特定的 才能使得该方程有非零解, 使得该方程有非零解的 称为特征值，相应的解)(xy称为特征函数。常见的边界条件为 (1) 两端固定∶0)()(10xyxy。 (2) 两端自由∶0))(())((1'0'xpyxpy。 (3) 一端固定、另一端自由∶0)(0 xy或 0)(1 xy， 0))((0'xpy或0))((1'xpy。 我们可以在复函数空间中定义一个内积运算为 101212( ),( )( )( )xxy x y xy x y x dx  容易证明，1212( ),( )( ),( )Ay x y xy x Ay x ，即 A 是对称(自伴)算子。如果记12,,  (......21n)为Stu rm-Liou v ille 方程的特征值...,...,21nyyy是相应的特征函数。也就是说 ( )( )( )iiiAy xw x y x (8.1.3) 那么，对于特征值和特征函数，我们可以得到以下一些性质： 1. 所有特征值是实的 若 , ( )y x是一组特征值和特征函数，即 ( )( ) ( )Ay xw x y x (8.1.4) 则 , ( )y x也是一组特征值和特征函数，即 ( )( ) ( )Ay xw x y x (8.1.5) 将(8.1.4) 乘 ( )y x 、(8.1.5) 乘 ( )y x 相减并积分可得 10()( ) ( ) ( )d0xxw x y x y x x 2. 特征函数正交性 ,0,ijwy yij 由算子A 的对称性 112 ,,,ijijjiAy yy AyAy y  另一方面，由于,ijy y 是算子A 的特征向量，所以有 ,,,ijiijiijAy ywy ywy y ,,,,jijjijjijijAy ywy ywy ywy y     因此` 0,)(jijiywy 当ji 时，要求上式成立，只有 0,ji ywy 当ij时，若,ijy y 是A 的两个线性无关的特征向量，选择 ,/,jjijjiiyywy yywy y 代替jy ，满足正交性要求,0ijwy y...