1 第9 讲 完全平方数 第一部分 基本知识点——这是重中之重 一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数，也叫平方数。 0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，„„都是完全平方数，同学们要数记前20个完全平方数。 观察这些完全平方数，可以得到完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9。 推论：个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数； 性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。 性质3：完全平方数除以3余0或1； 完全平方数除以4余0或1；。 性质4：如果一个完全平方数的个位数字是6，则是位数字是奇数。 性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数。 性质6：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。 一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。 约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。 性质7：平方差公式A2－B2＝（A＋B）（A－B）， 其中A＋B与A－B的奇偶性相同。 第二部分 学 案 [学案1] 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可是个位数字是0、1、4、5、6、9 的不一定都是完全平方数，那么我们定义：个位数字是0、1、4、5、6、9 且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数与伪平方数那个多？ 分析：⑴ 两位数从10 到99 共90 个，其中偶数90÷2＝45（个）。 ⑵ 两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×9＝54（个），其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个，伪平方数有54－6＝48个。 ⑶ 两位数中偶数45个，伪平方数48个，伪平方数比偶数多。 2 [学案2] 将16 分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？ 分析：⑴ 要使这些质数的乘积是完全平方数，那么质数必须成对出现，我们把16 分成 8＋8的两组，每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。 8＝2＋2＋2＋2＝2＋3＋3＝3＋5 ⑵ 16＝（2＋2＋2＋2）＋（2＋2＋2＋2） ＝（2＋3＋3）＋（2＋3＋3） ＝（3＋5）＋（3＋5） （2×2×2×2）×（2×2×2×2）＝162＝256 （2×3×3）×（2×3×3）＝182＝324 （3×5）×（3×5）＝152＝225 答：这个平方数可能是256、324、225． [学案3] 一个房间里有 100 盏灯，用...
