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第9讲完全平方数(学习指导)

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1 第9 讲 完全平方数 第一部分 基本知识点——这是重中之重 一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数,也叫平方数。 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,„„都是完全平方数,同学们要数记前20个完全平方数。 观察这些完全平方数,可以得到完全平方数的一些常用性质: 性质1:完全平方数的末位数字只能是0,1,4,5,6,9。 推论:个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数; 性质2:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数。 性质3:完全平方数除以3余0或1; 完全平方数除以4余0或1;。 性质4:如果一个完全平方数的个位数字是6,则是位数字是奇数。 性质5:完全平方数分解质因数后,每个质因数的次数都是偶数。 性质6:一个正整数如果是完全平方数,那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。 一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身),那么它是完全平方数。 约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。 性质7:平方差公式A2-B2=(A+B)(A-B), 其中A+B与A-B的奇偶性相同。 第二部分 学 案 [学案1] 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9,可是个位数字是0、1、4、5、6、9 的不一定都是完全平方数,那么我们定义:个位数字是0、1、4、5、6、9 且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”,那么在两位数中,偶数与伪平方数那个多? 分析:⑴ 两位数从10 到99 共90 个,其中偶数90÷2=45(个)。 ⑵ 两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×9=54(个),其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个,伪平方数有54-6=48个。 ⑶ 两位数中偶数45个,伪平方数48个,伪平方数比偶数多。 2 [学案2] 将16 分解成若干个质数(可以相同)相加的形式,如果这些质数的乘积正好是平方数,那么这个平方数可能是几? 分析:⑴ 要使这些质数的乘积是完全平方数,那么质数必须成对出现,我们把16 分成 8+8的两组,每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。 8=2+2+2+2=2+3+3=3+5 ⑵ 16=(2+2+2+2)+(2+2+2+2) =(2+3+3)+(2+3+3) =(3+5)+(3+5) (2×2×2×2)×(2×2×2×2)=162=256 (2×3×3)×(2×3×3)=182=324 (3×5)×(3×5)=152=225 答:这个平方数可能是256、324、225. [学案3] 一个房间里有 100 盏灯,用...

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