华北水利水电学院梯度、散度、旋度的关系及数学应用课程名称：高等数学（2）专业班级：电气工程及其自动化098班成员组成：姓名学号姓名学号姓名学号联系方式：2012年5月26日梯度、散度、旋度的关系及数学应用摘要：主要介绍梯度，散度，旋度的内涵与特征，及其它们之间的关系和数学应用。并通过实例说明，加深对其的理解，进而灵活运用。关键词：方向导数，梯度，通量，散度，环流量，旋度，关系，数学应用Thegradient,divergence,curl,andtherelationshipbetweentheapplicationofMathematicsAbstract:introducesthegradient,divergence,curl,connotationandfeature,andtherelationshipbetweenthemandtheapplicationofmathematics.Andbyanexample,deepenstoitsunderstanding,andflexibleapplication.Keywords:directionalderivative,gradient,flux,divergence,curl,annulusflow,relation,mathematicalapplication梯度，散度，旋度的关系及数学应用1.1梯度与方向导数1.梯度是与方向导数相关联的一个概念。我们将二元函数方向导数的计算式表示为两个向量的数量积形式：∂f∂l=∂f∂x∙cosφ+∂f∂y∙sinφ={∂f∂x,∂f∂y}∙{cosφ,sinφ},出现在数量积中的第一个向量是x,y的一个向量函数，我们把它称为二元函数f的梯度，记为gradf(x,y),即gradf(x,y)=∂f∂xi+∂f∂yj于是可以将二元函数方向导数的计算公式写为∂f∂l=gradf(x,y)∙e这表明方向导数∂f∂l是梯度向量∇f(x,y)在L上的投影。2.对二元以上的多元函数也可引进梯度向量的概念。例如，对三元函数u=f(x,y,z),向量{fx(x,y,z),fy(x,y,z),fz(x,y,z)}称为函数f(x,y,z)的梯度，记为gradf(x,y,z),即∇f(x,y,z)=∂f∂xi+∂f∂yj+∂f∂zk,也可写为∂f∂l=∇f(x,y,z)∙e=|∇f(x,y,z)|∙cosθ其中θ是梯度向量∇f(x,y,z)与l的夹角，由上式可以看出，当方向与梯度的方向一致时，θ=0，cosθ=1，方向导数有最大值，即函数沿梯度方向的方向导数达到最大值。因此，我们说函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值。例1设f(x,y,z)=xy2+yz3,求f(x,y,z)的梯度；解∂f∂x=y2∂f∂y=2xy+z3∂f∂z=3yz3,所以∇f(x,y,z)={y2,2xy+z3,3yz3}.1.2通量与散度1.一般地，设向量场F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,其中P,Q和R具有一阶连续偏导数，则有曲面积分∅=∬F∙ds=∬F∙ends=∬P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy称∅为向量场F通向曲面S指定侧的通量。设F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k是一向量场，且P,Q和R具有一阶连续偏导数，则称∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z为向量场F的散度，记作divF,即divF=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z这里要注意，在空间区域内定义的向量场上每一点处的散度都是数量。2.散度还有另一种表达式。设向量场F，场中有包含M点的有向闭曲面S，闭曲面S所围成空间域的体积是V，当M时，通向有向闭曲面外侧的平均通量的极限称为向量场F在M点的散度，即divF(M)=limΩ→M∯S❑F∙endsV这里，可以看出散度是通量对体积的变化率。利用奥高公式和三重积分的中值定理可以证明散度两种表达式是一致的。例2已知向量场A=(x+y)2i+yzj+xzk,计算÷A和在点M（1,0,1）的散度。解设P(x,y,z)=(x+y)2，Q(x,y,z)=yz,R(x,y,z)=xz∂P∂x=2(x+y),∂Q∂y=z,∂R∂z=x由公式可得¿A=3x+2y+z在点M（1,0,1）的散度为：¿A(M)=(3x+2y+z)|(1,0,1)=3+1=41.3环流量与旋度设F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k是一向量场，且P,Q和R具有一阶连续的偏导数，则向量{∂R∂y−∂Q∂z,∂P∂z−∂R∂x,∂Q∂X−∂P∂y}称为向量场F的旋度，记作rotF(或curlF),即rotF=（∂R∂y−∂Q∂z）i+(∂P∂z−∂R∂x)j+(∂Q∂X−∂P∂y)k或rotF=|ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR|这里注意旋度是一向量。向量场F的旋度可用微分算符和的矢量积表示，即rotF=∇×F于是，斯托克斯公式∮c❑Pdx+Qdy+Rdz=∬s❑（∂R∂y−∂Q∂z）dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂X−∂P∂y)dxdy可写成向量的形式∮c❑F∙dr=∬s❑rotF∙ds=∬s❑rotF∙ends其中dS=en∙ds=(cosαi+cosβj+cosγk)=dydzi+dzdxj+dxdyk斯托克斯公式表明了向量场F沿着封闭曲线的环流量等于向量场F...
