线性代数综合练习题

第 1 页共 7 页线性代数综合练习题时间:120 分钟一、选择题(每小题 3 分，共 15 分)：1•设 A 是三阶矩阵，将 A 的第一列与第二列交换得 B,再把 B 的第二列加到第三列得 C,则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为()。「010_「010_A) 100；(B)101101001「010_「011C)100；(D)1000110012.设 A、B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有()。(A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；(B) A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关；(C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.3.下列向量集按 Rn的加法和数乘构成 R 上一个线性空间的是()。(A) Rn中，坐标满足 x+x+・・・+x=O 的所有向量；12n(B) Rn中，坐标是整数的所有向量；(C) Rn中，坐标满足 x+x+-・+x=1 的所有向量；12n(D) Rn中，坐标满足 x=l,x，…，X 可取任意实数的所有向量。12n4. 设入=2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，贝 y 矩阵(!A2)—1 有一个特征值等于3()。4311(A)-；(B)-；(C)-；(D)-.34245•任一个 n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它()。(A)合同；(B)相似；(C)等价；(D)以上都不对。二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)「210「1.设矩阵 A=120，矩阵 B 满足：ABA*=2BA*+E,其中 A*为 A 的伴随矩001阵，E 是三阶单位矩阵，则 IBI=第 2 页共 7 页122.已知线性方程组 231a无解，rx)r11x= 32JxJ3J0丿第 3 页共 7 页a3.若 A=b01迈1巨0三、（15 分）设有齐次线性方程(1+a)x+12x+<13x+14x+1x+2(2+a)x+23x+24x+2x+32x+3(3+a)x+34x+3x42x43x4=0=0=六、(10 分)设二次型 f=12(x)1x2Ix丿3x2+x2+x2+2axx+2xx13通过正交变312=Py 化为:+2bxx23f=y2+2y2，求 a、23b00 为正交矩阵，则 a=14•设 A 为 n 阶矩阵，且 IAIH0,A*为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A有特征值入，则（A*）2+E 必有特征值。5.若二次型 f=2x12+x22+x32+2X]x2+tx2x3是正定的，则 t 的取值范围是试问 a 取何值时，该方程组有非零解?并用一基础解系表示出全部的解.四、（10 分）设 R3的两组基为：E 二（1,0,1）T,E 二（1,1,0）T,E 二（0,1,1）T和 n 二（1,1,1）T,n 二（1,1,2）T,n 二（1,2,1）T,123123向量 a=（2，3，3）T（1）求基 g,g,g 到基 n,n,n 的过渡矩阵；123123（2）求 a 关于这两组基的坐标。五、（15 分）设三阶实对称矩阵 A ...