基本不等式 一、基本不等式： 1、重要不等式：2＋b2≥2ab(a、b∈R) 当且仅当“＝b”时“＝”成立。注意：（1）不等式成立的条件是“＝b”，假如、b 不相等，则“＝”不成立；（2）不等式的变形 ：①b≤ ②b≤ ③ ≥≥④2(2＋b2)≥(＋b)22、基本不等式：≥ (、b∈R＋) 当且仅当“＝b”时“＝”成立。注意：（1）内容：＞0， b＞0，当且仅当“a＝b”时“＝”成立；（2）其中叫做正数、b 的算术平均数，叫做正数、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例 1：求证对于任意实数，b，c，有2＋b2＋c2≥b＋bc＋c，当且仅当＝b＝c 时等号成立。【证明】： a2＋b2≥2ab c2＋b2≥2bc a2＋c2≥2ac∴ 2(a2＋b2＋c2) ≥2ab＋2bc＋2ac ，∴ a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca当且仅当 a＝b＝c 时等号成立。变式练习 1：若 0＜＜1，0＜b＜1，且≠b，则＋b，2，2b，2＋b2中最大的一个是（ ）A：2＋b2 B：2 C：2b D：＋b变式练习 2：下列不等式：（1）x＋≥2；（2）｜x＋｜≥2；（3）若 0＜＜1＜b，则 logab＋logba≤－2；（4）若 0＜a＜1＜b，logab＋logba≥2。其中正确的是_______________。均值不等式推广： ≤ ≤ ≤ 调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数当仅且当“a＝b”时“＝”成立。二、最值定理已知 x、y 都是正数。（1）假如积 xy 是定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2，即 x＋y≥2；（2）假如和 x＋y 就定值 S，那么 x＝y 时，积 xy 有最大值，即 xy≤。利用基本不等式必须满足三个条件：“一正”、“二定”、“三取等”。应用一：求最值例 2：已知函数 f(x)＝3x＋(x≠0) （1）当 x＞0 时，求函数的最值；（2）当 x＜0 时，求函数的最值；【解析】：（1）当 x＞0 时，f(x)＝3x＋≥2＝12当且仅当 3x＝，即 x＝2 时，“＝”成立。（2）当 x＜0 时，－x＞0，f(x)＝3x＋＝－(－3x＋)≤－2≤－12，当且仅当－3x＝－时，即 x＝－2 时，“＝”成立。变式练习：求下列函数的最值（1）y＝3x2＋ （2）y＝x＋应用二：凑项例 3：已知 x＜，求函数 f(x)＝4x－2＋的最大值。【解析】：解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。变式练习 1： f(x)＝＋x (x＞3)的最小值为_____________。例 4：当 0＜x＜4 时，求 f(x)＝x(8－2x)的最大值。【解析】：当，即 x＝2 时...
