2025年8.5考点3线面角二面角的求法VIP专享

第八章 立体几何第五节 直线、平面垂直的判定与性质考点 3 线面角、二面角的求法（·浙江卷）已知四棱锥 S－ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点（不含端点），设SE 与 BC 所成的角为 θ1，SE 与平面 ABCD 所成的角为 θ2，二面角 S－AB－C 的平面角为 θ3，则（ ）A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1【解析】如图，不妨设底面正方形的边长为 2，E 为 AB 上靠近点 A 的四等分点，E′为 AB 的中点，S 究竟面的距离 SO＝1，以 EE′，E′O 为邻边作矩形 OO′EE′，则∠SEO′＝θ1，∠SEO＝θ2，∠SE′O＝θ3.由题意，得 tan θ1＝ SO'EO'＝❑√52，tan θ2＝ SOEO＝ 1❑√52＝ 2❑√5，tan θ3＝1，此时 tan θ2＜tan θ3＜tan θ1，可得 θ2＜θ3＜θ1.当 E 在 AB 中点处时，θ2＝θ3＝θ1.故选 D．【答案】D （·浙江卷）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.（1）证明：AB1⊥平面 A1B1C1；（2）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值．【解析】措施一 （1）证明 由 AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得 AB1＝A1B1＝2❑√2，因此 A1B12＋AB12＝AA12，故 AB1⊥A1B1.由 BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，得 B1C1＝❑√5.由 AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得 AC＝2❑√3.由 CC1⊥AC，得 AC1＝❑√13，因此 AB12＋B1C12＝AC12，故 AB1⊥B1C1.又由于 A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1⊂平面 A1B1C1，因此 AB1⊥平面 A1B1C1.（2）如图，过点 C1作 C1D⊥A1B1，交直线 A1B1于点 D，连接 AD．由 AB1⊥平面 A1B1C1，得平面 A1B1C1⊥平面 ABB1.由 C1D⊥A1B1，平面 A1B1C1∩平面 ABB1＝A1B1，C1D⊂平面 A1B1C1，得 C1D⊥平面 ABB1.因此∠C1AD 是 AC1与平面 ABB1所成的角．由 B1C1＝❑√5，A1B1＝2❑√2，A1C1＝❑√21，得 cos∠C1A1B1＝❑√427，sin∠C1A1B1＝❑√77，因此 C1D＝❑√3，故 sin∠C1AD＝C1 DAC1＝❑√3913.因此直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是❑√3913.措施二 （1）证明 如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.由题意知各点坐标如下：A（0，－❑√3，0），B（1,0,0），A1（0，－❑√3，4），B1（1,0,2），C1（0，❑...