第八章 立体几何第五节 直线、平面垂直的判定与性质考点 3 线面角、二面角的求法(·浙江卷)已知四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段 AB 上的点(不含端点),设SE 与 BC 所成的角为 θ1,SE 与平面 ABCD 所成的角为 θ2,二面角 S-AB-C 的平面角为 θ3,则( )A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1【解析】如图,不妨设底面正方形的边长为 2,E 为 AB 上靠近点 A 的四等分点,E′为 AB 的中点,S 究竟面的距离 SO=1,以 EE′,E′O 为邻边作矩形 OO′EE′,则∠SEO′=θ1,∠SEO=θ2,∠SE′O=θ3.由题意,得 tan θ1= SO'EO'=❑√52,tan θ2= SOEO= 1❑√52= 2❑√5,tan θ3=1,此时 tan θ2<tan θ3<tan θ1,可得 θ2<θ3<θ1.当 E 在 AB 中点处时,θ2=θ3=θ1.故选 D.【答案】D (·浙江卷)如图,已知多面体 ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C 均垂直于平面 ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面 A1B1C1;(2)求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值.【解析】措施一 (1)证明 由 AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB,得 AB1=A1B1=2❑√2,因此 A1B12+AB12=AA12,故 AB1⊥A1B1.由 BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1⊥BC,CC1⊥BC,得 B1C1=❑√5.由 AB=BC=2,∠ABC=120°,得 AC=2❑√3.由 CC1⊥AC,得 AC1=❑√13,因此 AB12+B1C12=AC12,故 AB1⊥B1C1.又由于 A1B1∩B1C1=B1,A1B1,B1C1⊂平面 A1B1C1,因此 AB1⊥平面 A1B1C1.(2)如图,过点 C1作 C1D⊥A1B1,交直线 A1B1于点 D,连接 AD.由 AB1⊥平面 A1B1C1,得平面 A1B1C1⊥平面 ABB1.由 C1D⊥A1B1,平面 A1B1C1∩平面 ABB1=A1B1,C1D⊂平面 A1B1C1,得 C1D⊥平面 ABB1.因此∠C1AD 是 AC1与平面 ABB1所成的角.由 B1C1=❑√5,A1B1=2❑√2,A1C1=❑√21,得 cos∠C1A1B1=❑√427,sin∠C1A1B1=❑√77,因此 C1D=❑√3,故 sin∠C1AD=C1 DAC1=❑√3913.因此直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是❑√3913.措施二 (1)证明 如图,以 AC 的中点 O 为原点,分别以射线 OB,OC 为 x,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 Oxyz.由题意知各点坐标如下:A(0,-❑√3,0),B(1,0,0),A1(0,-❑√3,4),B1(1,0,2),C1(0,❑...