第 34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答9 月 16 日一、（40 分）一种半径为、质量为的均质实心小圆柱被置于一种半径为、质量为的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动； （2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。解：（1）如图，为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得 ①式中，是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度（规定小圆柱在最低点时）与之间的关系为 ②由②式得，与的关系为 ③考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得 ④式中，是小圆柱绕其自身轴的转动惯量 ⑤由①②③④⑤式及小角近似 ⑥得 ⑦由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为 ⑧（2）用表达小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，和分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处在最低点位置）。对于小圆柱，由转动定理得 ⑨对于圆筒，同理有 ⑩由⑨⑩式得 R1R ⑪设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有 ⑫由式得⑫ ⑬设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为，由质心运动定理得 ⑭由式得⑫ ⑮由⑪⑬⑭⑮式及小角近似，得 ⑯由式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是⑯简谐振动，其振动频率为 ⑰评分参照：第（1）问 20 分，①②式各 3 分，③式 2 分，④式 3 分，⑤⑥式各 2 分，⑦式 3 分，⑧式 2 分；第（2）问 20 分，⑨⑩⑪式各 2 分，⑫式 3 分，⑬⑭⑮式各 2 分，⑯式 3 分，⑰式 2 分。二、（40 分）星体 P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线 式中，是 P 到太阳 S 的距离，是矢径 SP 相对于极轴SA 的夹角（以逆时针方向为正），, 是 P 相对于太阳的角动量，为引力常 量 ，为 太 阳 的 质 量 ， 为偏心率，和分别为 P 的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动...
