2025年参数方程和极坐标方程知识点归纳

xO图 1专题九：坐标系与参数方程1 、 平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x , y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换ϕ:¿{x'=λ⋅x,(λ>0),¿¿¿的作用下，点P(x , y )对应到点P'( x', y')，称ϕ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2 、 极坐标系的概念 在平面内取一种定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一种长度单位、一种角度单位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆时针方向)，这样就建立了一种极坐标系。点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠ xOM 叫做点M 的极角，记为θ 。有序数对( ρ,θ)叫做点M 的极坐标，记为M ( ρ,θ). 注：极坐标( ρ,θ)与( ρ,θ+2kπ )(k ∈Z)表达同一种点。极点O 的坐标为(0,θ)(θ∈ R).若ρ<0 ,则−ρ>0,规定点(−ρ,θ)与点( ρ,θ)有关极点对称，即(−ρ,θ)与( ρ,π+θ)表达同一点。Mcosxsiny222 yx)0(tanxxyyyxOMHN （直极互化 图）假如规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标( ρ,θ)表达（即一一对应的关系）；同步，极坐标( ρ,θ)表达的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一种点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点 P(，)，但平面内任一种点 P 的极坐标不惟一．一种点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的所有坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为 0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．极坐标与直角坐标的不一样是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一种点的极坐标是不惟一的． 3 、极坐标与直角坐标的互化 设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：4 、简单曲线的极坐标方程 ⑴ 圆的极坐标方程 ① 以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图 1）② 以(a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 ρ=2acosθ ；（如图2）③ 以(a>0)为圆心，a 为半径的圆cos2a axOM图2sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5cos2aaxOM图3aaxOM图1),(a)cos(2 aaxOM图6的极坐标方程是ρ=2asinθ ；（如图 4）⑵ 直线的极...