Ch1、引 论§1、数值分析及其特点1、数值分析及其重要内容数值分析也称计算措施，重要研究用计算机求解数学问题的数值措施及理论，内容重要包括：(1)数值迫近—插值与拟合、多项式迫近、有理迫近等(Ch2~Ch3)；(2)数值积分与微分(Ch4)；(3)数值代数—求解方程(组)以及特征问题的数值措施(Ch6~Ch9)；(4)常微分方程的数值解法(Ch5)。2、数值分析的特点(1)首先要有可靠的理论分析，以保证算法在理论上的收敛性和数值稳定性；(2)另一方面要对计算成果进行误差估计，以确定其与否满足精度；（见例 3）(3)还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。例如 Cooley 和 Tukey1965 年提出 FFT，，N=32K，1000 倍。例 1、分析用 Cramer 法则解一种阶线性方程组的计算量。解：计算机的计算量重要取决于乘除法的次数。用 Cramer 法则解一种阶线性方程组需计算个阶行列式，而用定义计算阶行列式需次乘法，故总计共需。此外，还需次除法。当时，计算量约为次乘法。虽然用每秒百亿次乘法的计算机，也需计算 3000 数年才能完毕。可见，Cramer 法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。§2、数值分析中的误差1、误差的类型与来源(1)模型误差；(2)观测误差；(3)截断误差(措施误差) —模型的精确解与数值措施精确解之间的误差；(4)舍入误差—实数形式的原始数据与有限字长的计算机数据之间的误差。数值分析重要研究截断误差与舍入误差。例 2、根据 Taylor 展式计算(误差不不小于 0.01)。解： (截断误差) (舍入误差)。2、误差的基本概念(1)误差与误差限设为某量的精确值，为的一种近似值，则称为的（绝对）误差，为的相对误差。用某种措施确定的误差的某个上界称为的误差限，显然，即，称为的相对误差限。误差限取决于测量工具和计算措施。(2)函数值的计算误差设，为的近似值，则(多元函数一阶 Taylor 展式)，。§3、算法的数值稳定性与病态问题1、算法的数值稳定性例 3、计算，并做误差分析。解：。算法 1：，成果见下表。又, 。算法 2：，成果见下表。 n算法 1算法 2精确值01234560.18230.08850.05750.04580.02080.0958-0.31250.18230.08840.05800.04310.03440.02810.02620.18230.08840.05800.04310.03430.02850.0243误差分析:算法 1：，即在计算过程中误差放大了倍。算法 2：，即误差缩小了倍。定义 1：若某算法受初始误差或计算过程中产生的舍入误差的影响较小，则称之是数值稳定的，反之称为不稳定算法。2、病态问题例 4、...
