清华自主招生数学创新试题汇编1、（Ⅰ）已知函数：求函数的最小值;（Ⅱ）证明:；（Ⅲ）定理:若 均为正数,则有 成立(其中．请你构造一种函数，证明：当均为正数时，．解：（Ⅰ）令得…2 分当时， 故在上递减．当故在上递增．因此，当时，的最小值为.….4 分（Ⅱ）由，有 即故 ．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证： 只要证： 设…………………7 分则令得…………………………………………………….8分当时，故上递减，类似地可证递增因此的最小值为………………10 分而===由定理知: 故故 aaaaSADFG即: .…………………………..14 分2、用类比推理的措施填表 等差数列中等比数列中b3=b2⋅qb3⋅b4=b2⋅b5答案：b1⋅b2⋅b3⋅b4⋅b5=b353、10．定义一种运算“*”：对于自然数 n 满足如下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则 n*1 等于A．n B．n+1 C．n -1 D．n2 答案：D4、若f (n)为n2+1(n∈N∗)的各位数字之和，如：142+1=197 ，1+9+7=17 ，则f (14)=17 ;记f 1(n)=f (n),f 2(n)=f (f 1(n)),…,f k+1(n)=f (f k(n)),k∈ N *,f则 2008(8)=____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥 S-ABCD 的侧面与底面。（1）请画出四棱锥 S-ABCD 的示意图，与否存在一条侧棱垂直于底面？假如存在，请给出证明；假如不存在，请阐明理由；（2）若 SA¿ 面 ABCD，E 为 AB 中点，求二面角 E-SC-D 的大小；（3）求点 D 到面 SEC 的距离。（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3 分证 明 ： SA⊥ AB,SA⊥ AD ,且 AB 、 AD 是 面 ABCD 内 的 交 线 ∴SA¿ 底 面ABCD……………………5 分aaaaaa√2a√2a（2）分别取 SC、SD 的中点 G、F，连 GE、GF、FA，则 GF//EA,GF=EA,∴AF//EG而由 SA¿ 面 ABCD 得 SA¿ CD，又 AD¿ CD，∴CD¿ 面 SAD，∴CD ⊥ AF又 SA=AD,F 是中点，∴ AF ⊥SD ∴ AF⊥¿ ¿面 SCD,EG¿ 面 SCD,∴面SEC⊥¿ ¿面 SCD因此二面角 E-SC-D 的大小为 90∘…………10 分(3)作 DH¿ SC 于 H， 面 SEC¿ 面 SCD,∴DH¿ 面 SEC,∴DH 之长即为点 D 到面 SEC 的距离，12 分 在 RtΔ SCD 中，DH=SD⋅DCSC=√2a⋅a√3a =√63 a答：点 D 到面 SEC 的距离为√63 a………………………14 分6、一种计算装置有一种入口 A 和一输出运算成果的出口 B，将自然数列中的各数依次输入...
