2025年线性代数知识点总结第二章

线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵定义由个 数排 成 的行列 的 数 表称 为m行n列 矩 阵 。 简 称矩 阵 ， 记 作，简记为，。阐明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于 n 的矩阵 A。 记作：An。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A＝B零矩阵：元素都是零的矩阵（不一样型的零矩阵不一样）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是 1，其他元素都是 0，记作：En(不引起混淆时，也可表达为 E )（书本 P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一种算式，一种数字行列式通过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一种数表，它的行数和列数可以不一样。第二节 矩阵的运算矩阵的加法设有两个矩阵，那么矩阵与的和记作，规定为阐明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（书本 P33）矩阵加法的运算规律；，称为矩阵的。（书本 P33）数与矩阵相乘数乘矩阵的运算规律（设为矩阵，为数）；；。（书本 P33）矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘设是一种矩阵，是一种矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一种矩阵，其中，并把此乘积记作注意1。A 与 B 能相乘的条件是：A 的列数＝ B 的行数。 2。矩阵的乘法不满足互换律，即在一般状况下，，并且两个非零矩阵的乘积也许是零矩阵。3。对于 n 阶方阵 A 和 B，若 AB=BA，则称 A 与 B 是可互换的。矩阵乘法的运算规律；，若 A 是 n 阶 方 阵 ， 则 称 Ak 为 A 的 k 次 幂 ， 即， 并 且，。规定： A 0 ＝ E 注意 矩阵不满足互换律，即，（但也有例外）（书本 P36）纯量阵矩 阵称 为 纯 量 阵 ， 作 用 是 将 图 形 放 大倍 。 且 有，A 为 n 阶方阵时，有，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可互换的。（书本 P36）转置矩阵把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作，如，。转置矩阵的运算性质；；；。（书本 P39）方阵的行列式由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或（记住这个符号）注意矩阵与行列式是两个不一样的概念，n 阶矩阵是 n2个数按一定方式排成的数表，而 n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一种数...