2025年概率论与数理统计知识点及练习题VIP专享

§1.2 概率的定义一、 概率的性质（1）0≤P( A )≤1.（2）P(φ)=0，P( S)=1.（3）.（4）P( A)=1−P(A).（5）P( A−B)=P( A B)=P(A )−P(AB).尤其地，若B⊂ A，P( A−B)=P( A)−P(B)，P(B)≥P( A).例 设为随机事件, ， 则解：P(B−A)=P(B)−P( AB)=0.3,§1.4 条件概率一、 条件概率定义 设A,B是两个事件，且P( A)>0，称P( B|A)=P( AB)P( A) 为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。二、全概率公式全概率公式：为样本空间的一种事件组，且满足：（1）互不相容，且P( Ai)>0(i=1,2,⋯,n);(2) .则对中的任意一种事件均有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+⋯+P(An)P(B|An)例设有一仓库有一批产品，已知其中 50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为110 , 115 , 120，现从这批产品中任取一件，求获得正品的概率？解 以、、表达诸事件“获得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以表达事件“获得的产品为正品”，于是： P( A1)= 510 ,P( A2)= 310 ,P( A3)= 210 0, P(B|A1)= 910 ,P(B|A2)=1415 ,P(B|A3)=1920 ;按全概xxo率公式 ，有： = 910⋅ 510 +1415⋅ 310 +1920⋅ 210 =0.92三、 贝叶斯公式设是样本空间的一种事件，为的一种事件组，且满足：（1）互不相容，且P( Ai)>0(i=1,2,⋯,n);(2) .则P( Ak|B)=P(Ak B)P(B)=P( Ak)P(B|Ak)P( A1)P(B|A1)+⋯+P( An)P(B|An)这个公式称为贝叶斯公式。例：有甲乙两个袋子，甲袋中有 4 个白球，5 个红球，乙袋中有 4 个白球，4 个红球．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，(1)问此球是红球的概率？(2)若已知获得的是红球，则从甲袋放入乙袋的是红球的概率是多少？解：设 A1表达从甲袋放入乙袋的一球是红球，则A1表达从甲袋放入乙袋的一球是白球，设 A2：表达从乙袋取的一球是红球，则（1） P(A2)=P( A2|A1)P( A1)+P( A2|A1)P( A1)=59×59 + 49× 49=4181.§1.5 事件的独立性一、 事件的独立性定义. 若两事件，满足P( AB)=P(A)P(B),则称，互相独立。第二章随机变量及其分布§2.1 一维随机变量一、 随机变量与分布函数定义 设为一随机试验,为的样本空间,若,为单值实函数，则称为随机变量。定义 设为一种随机变量，为任意实数，称函数F( x)=P( X≤x) 为的分布函数。分布函数的性质（1） F(−∞)=0, F(+∞)=1 .（2） F( x)是自变量的非降函数，即当x1