一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明措施和解题技巧做深入探讨．1．重心：设是Δ ABC 的重心，AG的延长线交BC 于，则，(1)BD=DC ， （ 2）AG: AD=2:3 ；（3）AD2=2 AB2+2 AC2−BC24，（4）SΔGBC=SΔ ABC3．2.外心：设⊙（）是Δ ABC 的外接圆，OD⊥BC 于交⊙于，则（1）OA=OB=OC=R ；（2）∠BOC=2∠ A 或2(1800−∠ A )；（3）BD=DC BE⌒=EC⌒；（4）SΔ ABC=abc4 R =2 Rsin A sinBsinC（正弦定理）3.内心：设Δ ABC 的内心圆⊙（切边AB 于，的延长线交外接圆于，则 （1）∠BIC=90°+ 12 ∠ A;(2)AP=r cot 12 ∠ A=b+c−a2=12(a+b+c)−a；(3)DB=DI=DC ；(4)SΔ ABC=r (a+b+c)2;4.垂心：设O,G, H 分别是Δ ABC 的外心，重心，垂心，OD⊥BC 于，AH 的延长线交外接圆于，则，（1）AH=2OD；（2）与有关BC 成轴对称；（3）⊙BCH= ⊙ABC ；（4）O,G, H ,三点共线，且OG:GH=1:2；5．旁心：设Δ ABC 在∠ A 内的旁切圆⊙（与AB 的延长线切于，则，（1）∠BI 1C=900−12 ∠ A；（2）AP1=r1ctg ∠ A2 =a+b+c2；（3）BP1=a+b−c2；（4）∠ AI 1 B=∠C2；（5）SΔ ABC=r 1(b+c−a)26．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几种关系在△ABC 中，内切圆⊙分别与三边相切于点M ,K ，BC 边上的帝切圆⊙与BC 边切于点，且分别与AB 边和AC 这的延长线相切于点、点．设三边BC 、、AB 分别为a,b,c ，∠ A ,∠ B,∠C 分别为α ,β ,γ ，p=12 (a+b+c)，内切圆半径为，旁切圆半径分别为ra ,rb,rc ，外接圆半径为，三角形面积为，则有如下关系式：（1）AP=p，AK=p−a，LH=b−c；（2）ra= rpp−a ；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的二分之一；（4）ra=1r ( p−b)( p−c )；（5）1ra=1r − 1rb− 1r c ；（6）ra=rtan β2⋅tan γ27．界心假如三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．其中三角形的周界是指由三角形的三边所构成的围．由于三角形的任意两边之和不小于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两端点之间．三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线（有时也称...
