一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明措施和解题技巧做深入探讨．1．重心：设是Δ ABC 的重心，AG的延长线交BC 于，则，(1)BD=DC ， （ 2）AG: AD=2:3 ；（3）AD2=2 AB2+2 AC2−BC24，（4）SΔGBC=SΔ ABC3．2
外心：设⊙（）是Δ ABC 的外接圆，OD⊥BC 于交⊙于，则（1）OA=OB=OC=R ；（2）∠BOC=2∠ A 或2(1800−∠ A )；（3）BD=DC BE⌒=EC⌒；（4）SΔ ABC=abc4 R =2 Rsin A sinBsinC（正弦定理）3
内心：设Δ ABC 的内心圆⊙（切边AB 于，的延长线交外接圆于，则 （1）∠BIC=90°+ 12 ∠ A;(2)AP=r cot 12 ∠ A=b+c−a2=12(a+b+c)−a；(3)DB=DI=DC ；(4)SΔ ABC=r (a+b+c)2;4
垂心：设O,G, H 分别是Δ ABC 的外心，重心，垂心，OD⊥BC 于，AH 的延长线交外接圆于，则，（1）AH=2OD；（2）与有关BC 成轴对称；（3）⊙BCH= ⊙ABC ；（4）O,G, H ,三点共线，且OG:GH=1:2；5．旁心：设Δ ABC 在∠ A 内的旁切圆⊙（与AB 的延长线切于，则，（1）∠BI 1C=900−12 ∠ A；（2）AP1=r1ctg ∠ A2 =a+b+c2；（3）BP1=a+b−c2；（4）∠ AI 1 B=∠C2；（5）SΔ ABC=r 1(b+c−a)26．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几种关系在△ABC 中，内切圆⊙分别与三边相切于点M ,K ，BC 边上的帝切圆⊙与BC 边切于点，且
