浙江工商大学10-11微积分期末试卷及答案

浙江工商大学 2024/2024 学年第一学期期末考试试卷及解答一、填空题(每小题 3 分，共 18 分）1.=.解 原式====.2。设,则=。解 ， .3。若存在,且，则=。解 设,则.,而 , 由得，即。4.设(其中，），则=。解 , 。5。曲线的水平渐近线的方程为。解 ,曲线有一条水平渐近线.6。设，，则=.解 ===。二、单项选择题(每小题 3 分，共 15 分)1。是函数的（）。（）连续点(）可去间断点（）有限跳跃间断点（）无穷间断点解 , ， 是函数的有限跳跃间断点.2。下面四个命题中，错误的是()。(）若函数,则的导数为()若，,则当时，（)若函数在点处可导，则在点处连续,但逆命题不成立（）若函数在上连续,则函数在上也连续3.已知函数在点处可导,且,则等于（）。（)（)（）（）解 , 。4.下列函数中，在上满足罗尔定理条件的是(）.(）()（)(）解 应选（)。对于（），由不存在,知在点不连续;对于（),由，知在点不可导;对于(),由，知。若在上满足罗尔定理条件,则应有 1）在上连续;2)在内可导;3）,所以,(）、（)、()都不正确.5.在下列等式中，正确的是(）.（）(）()（）解 ()、（)项均是要求的原函数，应为（为任意常数).而不定积分的微分也应为微分形式,因而（）、(）、()均为干扰项,只有（）为正确选项。事实上,若令,则。故。三、计算题(每小题 7 分，共 35 分)1。求。解 原式== ==.2.设由方程确定了隐函数,求。解 两边关于求导,得, 将代入原方程得，再将，代入上式得,.3.求.解 原式== = =。4.求不定积分.解 原式= == =。5.设,求.解 由得，所以 =======.五、应用题(每小题 8 分,共 16 分)1.求函数的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点。解 函数的定义域为. 令,得;令,得. 下面列表讨论：极大拐点2。将边长为的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图示的阴影部分），然后将其沿虚线折起,做成一个无盖的正三棱柱盒子.当图中的取何值时,该盒子的容积最大?解 如图所示,正三棱柱盒子的高为 ；正三棱柱盒子的底面积为 , .正三棱柱盒子的容积为 ==， 。 令,得(不合题意，舍去），. 由所给问题的实际意义知即为所求。六、证明题(每小题 8 分，共 16 分)1。当时，证明。证 设 = =， 。表明在上单调增加,则当时,，即。2.设函数在上连续,在内可导，且,。证明:(1)，使得；(2)，使得.证 （1）设，则在上连续,且，。由零点定理可知:，使得，即. （2）对在、上分别应用 Lagrange 中值定理得: , ; , 。故。