《五年高考真题五星汇编·数学》：第十八章推理与证明（完结）数学归纳法 0806027doc 高中数学一、考题选析：例 1、〔06 安徽 21〕数列的前项和为，〔 Ⅰ 〕 写 出与的 递 推 关 系 式， 并 求有 关的 体 现 式 ； 〔 Ⅱ 〕 设，求数列的前项和。解：由得：，即，因此，对成立。由，，…，相加得：，又，因此，当时，也成立。〔Ⅱ〕由，得。而，，。例 2、〔07 广东 21〕函数，是方程的两个根〔〕，是的导数，设，．〔1〕求的值；〔2〕证明：对任意的正整数，均有；〔3〕记，求数列的前项和．函数，是方程 f(x)=0 的两个根，是 f(x)的导数；设，〔n=1,2,……〕 〔1〕求的值； 〔2〕证明：对任意的正整数 n，均有>a；〔3〕记〔n=1,2,……〕，求数列{bn}的前 n 项和 Sn。解析：〔1〕 ，是方程 f(x)=0 的两个根，∴； 〔2〕，=， ， ∴ 有 差 不 多 不 等 式 可 知〔 当 且 仅 当时取等号〕，∴同，样，……，〔n=1,2,……〕， 〔3〕，而，即，，同理，，又。例 3、〔05 重庆 22〕数列满足.〔Ⅰ〕用数学归纳法证明：；〔 Ⅱ 〕 不 等 式对成 立 ， 证 明 ：， 其 中 无 理 数e=2.71828…。〔Ⅰ〕证明：〔1〕当 n=2 时，，不等式成立. 〔2〕假设当时不等式成立，即那么. 这确实是讲，当时不等式成立.根据〔1〕、〔2〕可知：成立.〔Ⅱ〕证法一：由递推公式及〔Ⅰ〕的结论有 两边取对数并运用不等式得 故 上式从 1 到求和可得即〔Ⅱ〕证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并运用不等式得 上式从 2 到 n 求和得 因故成立。二、考题精练：〔一〕选择题：1、〔07 上海〕设是定义在正整数集上的函数，且满足：〝当成立时，总可推 出成立〞．那么，如下命题总成立的是〔 〕 Ａ、假设成立，那么当时，均有成立 Ｂ、假设成立，那么当时，均有成立 Ｃ、假设成立，那么当时，均有成立 Ｄ、假设成立，那么当时，均有成立 〔二〕解答题：2、〔07 湖北 21〕〔I〕用数学归纳法证明：当时，；〔II〕有关，，求证：，；〔III〕求出满足等式的所有正整数。解法 1：〔Ⅰ〕证：用数学归纳法证明：〔ⅰ〕当时，原不等式成立；当时，左边，右边，由于，因此左边右边，原不等式成立；〔ⅱ〕假设当时，不等式成立，即，那么当时，，，因此在不等式两边同乘以得，因此．即当时，不等式也成立．综合〔ⅰ〕〔ⅱ〕知，对一切正整数，不等式都成立．〔Ⅱ〕证：当时，...
