导数的应用内容摘要：在新课程标准中，导数不仅是高中数学教学中的重点和难点，同时其本身已经成为解决数学问题的重要工具。本文从三个例题入手，研究了导数在讨论函数单调性，求函数的最值以及求曲线的切线议程三个方面的应用。关键词：导数 函数 单调性 最值 切线方程在近几年的数学高考中，对导数的考查正在逐步加强，导数是微积分中的基础概念中的一个重要分支，其实质就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。在新课程标准中，导数不仅是高中数学教学中的重点和难点，同时其本身已经成为解决数学问题的重要工具。不论是在研究函数的性质，还是证明不等式，以及判断高次方程根的个数和求曲线上某点切线方程等问题，导数都发挥着非常重要的作用，也体现出其优越性；不仅如此，导数还与经济和物理等学科之间也有很大的联系。一、研究函数的性质1．讨论函数的单调性1.1 已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1 ，讨论函数 f(x) 的单调性。分析：参数 a 的取值会影响 f ´(x) 的符号，所以应对参数 a 进行分类讨论。解 ： f(x) 的 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ， 则 f ´(x)=（a+1）/x+2ax=（2ax2+a+1）/x 。（1）当 a≥0 时，f ´(x)＞0，故 f(x)在（0，+∞）单调递增；（2）当 a≤-1 时，f ´(x) ＜0，故 f(x) 在（0，+∞）单调递减；（3）当 -1
0；当 x∈(,+∞)时，f ´(x)<0。故 f(x) 在 (0, ) 单调递增，在(, +∞) 单调递减。1.2 讨论和研究函数的单调性和单调区间，就是解 f ´( x )>0 或 f ´( x )<0 ，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间。一般对于可导函数而言，其解题步骤如下：首先求 f( x )的 定 义 域 同，然后求出 f ´( x )；最后解不等式 f ´( x )>0 或 f ´( x )<0，这样就可以得到在单调区间内的单调性。2．求函数的极值和最值2.1 已知函数 y=f(x)=lnx/x。（1）求 y=f(x) 的最大值；（2）设实数 a>0 ，求函数 F(x)=af(x) 在 [a,2a]上的最小值。分析：最值是所有极值和端点值中最大和最小值，求最值须先求极值。解 （1）假设 f ´(x)=0 ，可得 x=e。当 x∈(0,e) 时，f´(x)>0 ，那么 f(x) 在 (0,e) 上为增函数；当 x∈(e,+∞) 时，f ´(x)<0 ，那么 f(x) 在 (e,+∞) 上为减函数。因此 fmax(x)=f(e)...
