函数值域的求法大全VIP专享

函数值域的求法大全题型一 求函数值：特别是分段函数求值例 1 已知 f(x)＝(x∈R，且 x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求 f(2)，g(2)的值；(2)求 f[g(3)]的值.解 (1) f(x)＝，∴f(2)＝＝.又 g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2) g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系 f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于 f[g(x)]型的求值，按“由到外”的顺序进行，要注意 f[g(x)]与g[f(x)]的区别.跟踪训练 4 已知函数 f(x)＝.(1)求 f(2)；(2)求 f[f(1)].解 (1) f(x)＝，∴f(2)＝＝.(2)f(1)＝＝，f[f(1)]＝f()＝＝.5.已知函数 f(x)＝x2＋x－1.(1)求 f(2)，f()；(2)若 f(x)＝5，求 x 的值.解 (1)f(2)＝22＋2－1＝5，f()＝＋－1＝.(2) f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，∴x＝2，或 x＝－3.(3)4.函数 f(x)对任意自然数 x 满足 f(x＋1)＝f(x)＋1，f(0)＝1，则 f(5)＝________.答案 6解析 f(1)＝f(0)＋1＝1＋1＝2，f(2)＝f(1)＋1＝3，f(3)＝f(2)＋1＝4，f(4)＝f(3)＋1＝5，f(5)＝f(4)＋1＝6.二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数 y=ax+b(a¿ 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数y= kx ( k≠0)的定义域为{x|x¿ 0}，值域为{y|y¿ 0}；二次函数f ( x)=ax 2+bx+c(a≠0)的定义域为 R，当 a>0 时，值域为{y|y≥( 4ac−b2)4a}；当 a<0 时，值域为{y|y≤( 4ac−b2)4a}.例 1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1¿ x¿ 1) ②f (x)=− 23 x （1≤x≤3）③ y=x+ 1x （记住图像） 解：① -1¿ x¿ 1，∴-3¿ 3x¿ 3，∴-1¿ 3x+2¿ 5，即-1¿ y¿ 5，∴值域是[-1，5]② 略③ 当 x>0，∴y=x+ 1x =(√ x− 1√x)2+2¿2 ，当 x<0 时，y=−(−x+ 1−x )=－(√−x−1√−x)2−2¿−2奎屯王新敞新疆∴值域是(−∞,−2]∪¿¿[2，+∞ ).（此法也称为配方法）函数y=x+ 1x 的图像为：二次函数在区间上的值域(最值)：例 2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①y=x2−4 x+1；...