函数最值的几种求法新课程标准中,高中数学知识更加丰富,层次性更强,和高等教育的结合更加紧密.要想较好的完成新课标的教学任务,必须从整体上把握课程标准,运用主线知识将高中数学知识穿成串,连成片,织成网,才有利于学生更好的掌握,而函数的最值问题在整个高中教材中显得非常重要,为了能系统的学好这方面的知识,本文总结归纳出八种求函数最值的常见方法.一 由定义域直接求函数的最值一次函数的最大值与最小值常与它的定义域与值域有关系,即若 y 是 x 的函数,则由 x的取值围,并且根据一次函数的单调性,就能得到 y 的最大(小)值.例 1 变 量,,均 不 小 于 0, 并 满 足与, 求 函 数的最大值与最小值.解 由与得,与.又由,,均不小于 0,推出.再将与代入得,,它是单调递增函数,而.所以,当时, 有最小值;当时, 有最大值.二 用配方法求函数的最值[1]对 于 二 次 函 数 可 以 用 配 方 法 讨 论 它 的 最 值 情 况 , 即 二 次 函 数. 当时 ,有 最 小 值 , 即 当时 ,;当时,有最大值,即当时,.例 2 设.求和.解 由得,.又因 ,所以当时,有最小值;当时,有最大值.例 3 设在区间上最小值为,求的最大值. 解 对关于配方得,.由已知得,当时,;当时,;当时 ,. 因 此 , 当时 ,的 最 大 值 为; 当时 ,,且的最大值为;当时,的最大值为.三 用判别式法（也称△法）求最值判别式法就是利用二次方程有实数根的充要条件来求出函数的最值.除了二次函数,对于一些常见的含有根号的无理函数,也可以利用平方法去掉根号后再根据二次函数的△法来求最值,或假如一个问题中,诸量之间的关系最后可化为以某一变量为元的二次方程的形式,便可运用判别式来求最,但要注意函数的定义域对函数的制约作用.例 4[2]求函数的最值, 以与函数取最值时的取值.解 显然.等式两边平方有,移项再平方整理得,又由,得,又因为并且得,所以.于是 当时,;当时,四 换元法就是通过换元把一个复杂的函数变为简单函数.这种题的特征是函数的解析式中含有根式.当根式为一次式时, 用代数换元（直接换元）;当根式是二次式时,用三角换元.例 5 用换元法求函数的最大值（无最小值）.解 令,.所以.于是 当,即时,.例 6 用三角换元法求函数的最值.解 令,则.所以,原函数变为 .又因为,故,所以,当,即,时, 取得 最 小 值; 当,,时 , 取 得 最 大 值.五 利用不等式求函数的最值基本不等式:是求函数的最值问题的重要工具.但要注意取得最值...
