第1讲-直线与圆VIP专享

第 1 讲 直线与圆高考定位 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.真 题 感 悟1.(2024·全国Ⅲ卷)在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点.若AC·BC＝1，则点 C的轨迹为( )A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.直线解析 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，设点 A，B 分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，点 C 为(x，y)，则AC＝(x＋a，y)，BC＝(x－a，y)，所以AC·BC＝(x－a)(x＋a)＋y·y＝x2＋y2－a2＝1，整理得 x2＋y2＝a2＋1.因此点 C 的轨迹为圆.故选 A.答案 A2.(2024·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离为( )A. B.C. D.解析 因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在圆上.所以可设圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a＞0).则(2－a)2＋(1－a)2＝a2，解之得 a＝1 或 a＝5.所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离 d＝＝或 d＝＝.答案 B3.(2024·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线 l：2x＋y＋2＝0，点 P为 l 上的动点.过点 P 作⊙M 的切线 PA，PB，切点为 A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线 AB 的方程为( )A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0解析 由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心 M(1，1).如图，连接 AM，BM，易知四边形 PAMB 的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形 PAMB 的面积最小，即只需△PAM 的面积最小.因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小.又|PA|＝＝，所以只需直线 2x＋y＋2＝0 上的动点 P 到 M 的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线 PM 的方程为 x－2y＋1＝0.由得所以 P(－1，0).易知 P、A、M、B 四点共圆，所以以 PM 为直径的圆的方程为x2＋＝，即 x2＋y2－y－1＝0②，由①②得，直线 AB 的方程为 2x＋y＋1＝0，故选 D.答案 D4.(2024·全国Ⅰ卷)已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|＝4，⊙M 过点 A，B且与直线 x＋2＝0 相切.(1)若 A 在直线 x＋y＝0 上，求⊙M 的半径；(2)是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由.解 (1)因为⊙M 过点 A，B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线...