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第22讲-数论综合三.赵永明.初稿

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第 22 讲 数论综合三典型问题◇ ◇ 兴趣篇 ◇ ◇1.(1)求所有满足下列条件的三位数:在它左边写上 40 后所得的五位数是完全平方数。 (2)求满足下列条件的最小自然数:在它左边写上 80 后所得的数是完全平方数。【分析】(1)设这个三位数为根据题意有,即,当时,,五位数是当时,,五位数是当时,不是三位数(舍去)所以满足条件的三位数是 401,804(2)当这个自然数是一位数时,有,,,因此一位数不存在,同理两位数不存在当这个自然数是三位数时,有,,,所以最小自然数是2. 已知是一个完全平方数,试确定自然数的值。()【分析】当时,,不可能是完全平方数,因此只能取 到间的数,经试验或3. 一个完全平方数是四位数,且它的各位数字均小于 7。假如把组成它的每个数字都加上3,便得到另外一个完全平方数。求原来的四位数。【分析】根据题意有,,因此,即,且都是两位数,因此,所以,原来的四位数是4. 请写出所有各位数字互不相同的三位奇数,使得它能被它的每一个数位上的数字整除。【分析】根据题意是三位奇数,因此各位数字不能取偶数,当有一个数字是时,必定另外两个数字有一个是偶数,因此三个数字只能是,所以满足条件的三位奇数为 135,315,175,7355. 在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字 0,得到一个三位数(例如 21 变成了 201),结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除。请问:所有满足条件的两位数之和是多少?【分析】设满足条件的两位数为,依题意有,即,最大只能取,最小取,当时,有,因此这样的两位数有,同理当时,有,这样的两位数有;同理当时,有,这样的两位数不存在;同理当时,有,这样的两位数有;同理当时,有,这样的两位数有;满足条件的两位数之和是6. 用 2、3、4、5、6、7 六个数字组成两个三位数,要使这两个三位数与 540 的最大公约数尽可能的大,这两个三位数应该分别是多少?【分析】,因此可以让这两个三位数尽可能都是的倍数和的倍数,所以只能是 324,756 或 432,756 7. 一个自然数,它与 99 的乘积的各位数字都是偶数。求满足要求的最小值。【分析】当这个自然数为一位数时,,因此十位数字是不成立;当这个自然数为两位数时,,因此个位数字是偶数,这样百位数字为奇数,不成立;当这个自然数为三位数时,,因此个位数字是偶数,这样千位数字为奇数,不成立;当这个自然数为四位数时,,因此个位数字、千位数字是偶数,百位、十位数字是...

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