多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

Documentserialnumber【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】多面体外接球、内切球半径常见的 5 种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例 1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱9的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9，底面周长为 3,则这个球8的体积为.6x=3,咼为 h，则有<9—=6x18・・・正六棱柱的底面圆的半径 r=2，球心到底面的距离 d=寻…••外接球的半径 R—\；r2+d2—1.V 球———.球3小结本题是运用公式 R2—r2+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的咼为 4，体积为 16，则这个球的表面积是A.16 兀 B.20 兀 C.24 兀 D.32 兀解设正四棱柱的底面边长为 x，外接球的半径为 R，则有 4x2—16，解得 x—2.2R—>,/22+22+42—2J6,/.R—^/6.•:这个球的表面积是 4 兀 R2—24 兀.选 C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例 3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.解飞题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，・•・把这个三棱锥可以补成一个棱长为、空的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设正六棱柱的底面边长为 x，1X2,h—J3.设其外接球的半径为 R，则有（2R）2=）+（：'3）+（3）=9.•・ ・R2=4.故其外接球的表面积 S 二 4 兀 R2二 9 兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的半径为 R，则有2R=a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例 4 正四棱锥 S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为、辽，点S、A、B、C、D 都在同一球面上，则此球的体积为,解设正四棱锥的底面中心为 O］，外接球的球心为 O，如图 3 所示•・•・由球的截面的性质，可得 OO］丄平面 ABCD.又 S01丄平面 ABCD，・•・球心 O 必在 SO1所在...