求轨迹方程的常用方法(例题及变式)

求轨迹方程的常用方法：题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件｛MIP(M)｝直接翻译成 x,y 的形式 f(x,y)=0，然后进行等价变换，化简 f(x,y)=0，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)。例 1 过点 A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM 和 AN，分别交 x,y 轴于点 M,N，求线段MN 中点 P 的轨迹方程。解：设 P 点坐标为 P(x,y)，由中点坐标公式及 M,N 在轴上得 M(0,2y)，N(2x,0)(x,yeR)AM 丄 ANk•k=—1AMAN0—32y—3.•=—1(x 丰 1)，化简得 4x+6y—13=0(x 丰 1)2x—20—23当 x 二 1 时，M(0,3)，N(2,0)，此时 MN 的中点 P(1,-)它也满足方程 4x+6y—13=0，厶所以中点 P 的轨迹方程为 4x+6y—13=0。变式 1已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍。(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A,B 两点。若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率。题型二定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例 2 动圆 M 过定点 P(—4,0)，且与圆 C:x2+y2—8x 二 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。解:根据题意 IIMCI—IMPII=4，说明点 M 到定点 C、P 的距离之差的绝对值为定值，故点 M 的轨迹是双曲线。•/2a 二4x2y2故动圆圆心 M 的轨迹方程为才-1_=1变式 2在 AABC 中，BC=24,AC,AB 上的两条中线长度之和为 39,求 AABC 的重心的轨迹方程.解：以线段 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，如图 1,M 为2重心，则有|BM|+\CM\=-X39=26.・•・M 点的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆，其中 c=12,a=13.・b=\a2—c2=5.・•・所求△ABC 的重心的轨迹方程为盏+釜=1(y 鼻。)题型三相关点法此法的特点是动点 M(x,y)的坐标取决于已知曲线 C 上的点(x',y')的坐标，可先用 x,y 来表示 x',y'，再代入曲线 C 的方程 f(x,y)=0,即得点 M 的轨迹方程。例 3 如图，从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线，垂足为 N,求线段 QN的中点 P 的轨迹方程分析：从题意看动点 P 的相关点是 Q,Q 在双曲线上运动，所以本题适合用相关...