26等边三角形知识讲解

等边三角形（提高）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含 30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形. 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特别的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含 30°的直角三角形含 30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，假如有一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、（2024 秋·黄冈期中）如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，和都是等边三角形，BE 交 AC 于 F，AD 交 CE 于 H.（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：FH∥BD.【答案与解析】（1）证明：和都是等边三角形 ∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD在△BCE 和△ACD 中ABCDCEABCDCE ∴△BCE≌△ACD（SAS）（2）由（1）知△BCE≌△ACD则∠CBF=∠CAH，BC=AC又 和都是等边三角形，且点 B、C、D 在同一条直线上，∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF，在△BCF 和△ACH 中 ∴△BCF≌△ACH（ASA）∴CF=CH，又 ∠FCH＝60°∴△CHF 是等边三角形∴∠FHC＝∠HCD=60°，∴FH∥BD【总结升华】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键。举一反三：【变式】（2024 秋•利通区校级期末）如图，△ABD，△ACE 都是正三角形，BE 和 CD 交于 O 点，则∠BOC= 度．【答案】120°．解： △ABD，△ACE 都是正三角形AD=AB∴，∠DAB=EAC=60°∠，AC=AE，DAC=EAB∴∠∠DACBAE∴△≌△（SAS）DC=BE∴，∠ADC=ABE∠，∠AEB=ACD∠，BOC=CDB+DBE∴∠∠∠=CDB+DBA+ABE∠∠∠=ADC+CDB+DBA∠∠∠=120°．2、如图，△ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 ...