反比例的有关几何定值与定性

一、定义及图象及性质：反比例函数有关的几何定值与定性（一）由 y  k 得到 k  xy （即 k 等于其图象上任意一个点的横纵坐标之积）；x（二）中心对称性及轴对称性.二、几个基本结论：1．如图 1，点 C 为双曲线 y  k （ x ＞0）上任一点，则有： S xAOC SBOC 1 k ， S2矩形 ACBO（ k ；2．如图 2，矩形 OABC 交双曲线 y  k （ x ＞0）于两点 E、F，则有：① EF∥AC；② AE  CF ；xBEBF3．如图 3，A 为双曲线 y  k （ x ＞0）上一点，B 为 x 轴上的一点，若 AC= n BC，设 A 点的坐标为( a ，b )，x则有：B: ，C: ；yyyABCAEBkFy= xCOAxOCxOBx图 1图 2图 34．如图 4，A 为双曲线 y  kxx ＞0）上一点，平移直线 OA 分别交此双曲线、x 轴于 B、C 两点，若 OA= n BC，设 A 点的坐标为( a ， b )，则有：B: ，C: ；5．如图 5，等腰△OAB 的底边 OB 在 x 轴上，两腰 AO、AB 分别交双曲线 y  k （ x ＞0）于 C、D 两点，x若 OC= n BD，设 C 点的坐标为( a ， b )，则有：D: ，B: ，A: ，；6．如图 6，直线 y  mx  n 与双曲线 y  k （ x ＞0）有唯一公共点 P，且与两轴交于 A、B 两点，则有：xPA=PB；yyyAACBOCxOaabAPDBxOBx图 4图 5图 67．如图 7，直线 y  mx  n 交两轴于 C、D 两点，交双曲线 y  k （ x ＞0）于 A、B 两点，则有：AC=BD；x8．如图 8，定直线 l 与双曲线 y  k （ x ＞0）交于 A、B 两点，定直线 l 与两轴交于 C、D 两点，P 为 A、1x2B 之间双曲线上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线 l ，分别交 l1 、l2 于 M、N 两点，则有：PM 有最大值，PN 有最小值（柯西不等式：【 ( b )2 ≥ 0 ，∴ a  b ≥ 22k2∠PEF=∠QEF.yyyPPPMHFFAFNQEQOxOxOx 图 13 （ 1 ）B 图 13 （ 2 ） 图 13 （ 3 ）解题关键：（ 1 ）应用好双曲线上的点和反比例函数关系式的关系，巧设坐标；（ 2 ）灵活地运用双曲线面积结论（即 k 的几何意义）；（ 3 ）运用双曲线图形中的轴对称和中心对称关系解题；（ 4 ）联立 y kx bx元二次方程（根的判别式、根与系数的关系）构题思维全部可以借鉴； y m ，得： kx2 bx m 0 仍然为关于 x 的一元二次方程，因此抛物线与一（ 5 ...