数列极限与函数极限的异同及其本质原因

数列极限与函数极限的异同及其本质原因关键词：极限数列极限函数极限1.关于数列极限1.1 数列初等数学中对数列这样定义：根据一定顺序排列的一列数称为数列.数学分教材[1]关于数列的定义：若函数 f 的定义域是全体正整数集 N，则称 f：N→R 或 f（n），n∈N 为数列.正因为正整数集的元素可按从小到大的顺序排列，所以数列 f（n）也可写作 a，a，…a…，或简单地记作{a}，其中 a 是该数列的通项.看得出来，数列就是一正整数集为定义域的函数，即所有数列的定义域都是正整数集.1.2 数列的极限的定义定义 1 设{a}为数列，a 为定数.若对任给的正数？藓，总存在正整数N，使得当 n>N 时，有|a-a|2.关于函数极限2.1x→∞时函数极限定义 2 设 f 为定义[a，+∞）在上的函数，A 为定数，若对任给的正数？藓，存在正数 M（≥a），使得当 x>M 时有|f（x）-A|现设 f 为定义在 U（-∞）或 U（∞）上的函数，当 x→-∞或 x→∞时，若函数值无限地接近某定数 A，则称 f 当 x→-∞或 x→∞时以 A 为极限，f（x）=A 或 f（x）=A.2.2x→x 时函数极限定义 3（函数极限的？藓-δ 定义）设函数 f 在点 x 的某个空心邻域U（x；δ′）内有定义，A 为定数，若对任给的正数 ε，存在正数 δ（类似可定义 f（x）=A 及 f（x）=A.3.数列极限与函数极限的异同及根本原因从以上定义可以看出，数列极限与函数极限有相同点也有不同点，讨论二者的方法大同小异，相同点是数列极限与函数极限中当 x→+∞时的类型完全相似，因此可以用相同的方法讨论.二者的不同点在于，数列极限只有一种类型，就是 n→∞时的极限；而函数极限细分有六种类型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x 的极限，分类的标准是根据的趋向的不同来分类.二者的相同点源自二者都是函数，数列可以认为是特别情况的函数，任何一个不同的数列都以正整数集为定义域；而通常意义下的函数在数学分析课程中是定义在实数范围的，其定义域可以是实数集也可以是实数集的某个子集.正因为将二者同看成函数的情况下，由于二者的定义域范围不同，导致二者极限类型的不同.数列的定义域是正整数集，那自变量的取值为1、2、3……，自变量的最小取 1，因此不可能趋向于-∞，又因为数列各项必须取整数，所以它不可能趋近于某个定数，自变量 n 只可能有一种趋向于+∞；而通常意义下的函数是在实数范围内的讨论，因此，自变量 x既可以趋近于+∞，又可以趋近于-∞；假如...