数列极限定义的教学新思路打开文本图片集【摘要】数列极限是数学分析课程的重要基础，而如何深刻理解数列极限定义则是学好数学分析的关键.本文通过引入一个将等式“等价为”不等式的引理，引导学生正确理解任意小变量 ε 和 N 的依赖关系，并在几何意义下进一步明确数列极限定义的深层内涵.【关键词】数列极限;收敛【基金项目】黑龙江省高等教育教学改革讨论项目（SJGY20240670）.一、引言关于数列极限定义的教学新思路是：首先，通过给出一些等价引理，重点引导学生理解任意小变量 ε;然后，通过实际计算的方式明白任意小变量 ε 和 N 的依赖关系;接下来，引出数列极限定义，即大家熟知的数列极限定义的 ε-N 语言;最后，通过探讨数列极限的几何意义，总结数列极限的本质.首先，给出如下引理：引理 1 ε>0，"x-y|<εx=y.证明 必要性，显然.充分性，反证法.假设 x≠y，则|x-y|>0.由 ε 的任意性取 ε=|x-y|2，则有|x-y|<|x-y|2，矛盾.引理 1 说明等式可以“等价为”不等式，从而引导学生突破高中阶段对等式的理解，并明确等式在将来的学习讨论中可以有更多的形式.注 1：ε>0，|x-y|
0）x=y.注 2：ε>0，x0，×××”这种描述方式和初等数学中的等式和不等式有着本质的不同，利用这种语言可以进一步得到等式或不等式的“极限”情形.接下来，我们通过简单问题来理解数列极限定义.问题 1 已知 limn→∞ 1n=0，那么 1n 是否等于 0？假如不等，将会以哪种方式和 0 进行比较？下面我们利用引理 1 的来处理问题 1.即：ε>0，1n 与 0 的距离在 n 取多少时可以达到小于 ε？简单计算可得：ε=0.1 时， 1n-0<εn>10;ε=0.01 时， 1n-0<εn>100;ε=0.001 时， 1n-0<εn>1000.该结果表明当 n 大于某个数 N 时，1n 和 0 总是小于给定的 ε.由引理1 可知 1n 与 0 越来越接近，因为引理 1 的结论告诉我们 n 大于某个 N时，1n 与 0 相等.利用上述分析我们可以抽象出数列极限的定义：定义 1 设{xn}是一个实数列，a 是一个常数.若 ε>0，N=N（ε），使得当 n>N 时，有|xn-a|<ε，则称数列{xn}收敛于 a，并称 a 为数列{xn}的極限.理解：问题 1 中，由于 N 依赖于 ε，记为 N=N（ε）.一经找到 N，数列中 n>N 的项都满足和 a 充分接近，也就是说，可以从定义 1 中抽出这样的一个部分：ε>0，|xn-a|<ε.而引理 1 告诉我们 xn“=”a.这也可以看出...
