一、选择题12．（2024·长沙）如图，△ABC 中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD+BD 的最小值是【 】A．B．C．D．10【答案】B2.3.二、填空题16．（2024·黄冈）如图，AC，BD 在 AB 的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8.点 M 为 AB 的中点.若∠CMD＝120°，则 CD 的最大值是.【答案】14【解析】将△CAM 沿 CM 翻折到△CA′M，将△DBM 沿 DM 翻折至△DB′M，则 A′M＝B′M，∠AMC＝∠A′MC，∠DMB＝∠DMB′， ∠CMD＝120°，∴∠AMC+DMB∠＝∠A′MC+DMB′∠＝60°，A′MB′∴∠＝ 180°- （ ∠ AMC+DMB+A′MC+DMB′∠∠∠） ＝60°，∴△A′MB′是等边三角形，又 AC＝2，BD＝8，AB＝8.点 M 为 AB 的中点，A′B′∴＝A′M＝B′M＝AM＝AB＝4，CA′＝AC＝2，DB′＝DB＝8，又 CD≤CA′+A′B′+DB′＝2+4+8＝14.三、解答题24．（2024 山东威海，24，12 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝10cm，E 为对角线 BD 上一动点，连接AE，CE，过 E 点作 EF⊥AE，交直线 BC 于点 F．E 点从 B 点出发，沿着 BD 方向以每秒 2cm 的速度运动，当点E 与点 D 重合时，运动停止，设△BEF 的面积为 ycm2，E 点的运动时间为 x 秒．（1）求证：CE＝EF；（2）求 y 与 x 之间关系的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）求△BEF 面积的最大值．【解题过程】（1）证明：过 E 作 MN∥AB，交 AD 于 M，交 BC 于 N， 四边形 ABCD 是正方形，∴AD∥BC，AB⊥AD，∴MN⊥AD，MN⊥BC，∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE＋∠FEN， AE⊥EF，∴∠AEF＝∠AEM＋∠FEN＝90°，∴∠AEM＝∠NFE， ∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，∴BN＝EN＝AM.∴△AEM≌△EFN（AAS）.∴AE＝EF. 四边形 ABCD 是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE， DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CE＝EF.（2）在 Rt△BCD 中，由勾股定理得：BD＝221010＝102 ，∴0≤x≤52 .由题意，得 BE＝2x，∴BN＝EN＝2 x.由（1）知：△AEM≌△EFN，∴ME＝FN， AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10－2 x，如图（1），当 0≤x≤时，∴BF＝FN－BN＝10－x－x＝10－22 x.∴y＝BF·EN＝＝－2x2＋x（0≤x≤）；如图（2），当＜x≤时，∴BF＝BN－FN＝x－（10－x）＝x－10，∴y＝BF·EN＝＝2x2－x（≤x≤）.∴ （1） （2）（3）y＝－2x2＋5x＝－2（x－）2＋， －2＜0，∴当 x＝时，y 有最大值是；即△BEF 面积的最大值...
