第 15 讲 三角函数恒等变换[玩前必备]1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)cos(α＋β)＝cos α cos β － sin α sin β ，cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β ．(2)sin(α＋β)＝sin α cos β ＋ cos α sin β ，sin(α－β)＝sin α cos β － cos α sin β ．(3)tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝(α，β，α＋β，α－β 均不等于 kπ＋，k∈Z)，2．二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin 2α＝2sin α cos α ．(2)cos 2α＝cos 2 α － sin 2 α ＝2cos 2 α －1＝1－2sin 2 α ．(3)tan 2α＝(α≠kπ＋且 α≠kπ＋，k∈Z)．3．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中 sin φ＝，cos φ＝.4．公式的常见变形(1)tan α＋tan β＝tan( α ＋ β )(1 － tan _α tan _β ) ；tan α－tan β＝tan( α － β )(1 ＋ tan _α tan _β ) ． (2)sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α.[玩转典例]题型一 两角和与差公式例 1 (1) 计算 cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°的值为________．(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.例 2 设 cos (α－)＝－，sin ＝，其中 α∈，β∈，求 cos .例 3 化简下列各式：(1)sin＋2sin－cos；(2)－2cos(α＋β)．例 4 若 α，β 均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求 α＋β.[玩转跟踪] 1．(重庆，6)若 tan α＝，tan(α＋β)＝，则 tan β＝( )A. B. C. D.2.已知 cos α＝，cos(α＋β)＝－，且 α、β∈，求 cos β 的值．3.已知 cos α＝，sin(α－β)＝，且 α、β∈.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β 的值．4.已知△ABC 中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且 tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试推断△ABC 的形状．题型二 二倍角和辅助角公式例 5 已知 sin 2α＝，<α<，求 sin 4α，cos 4α，tan 4α 的值.例 6 在△ABC 中，cos A＝，tan B＝2，求 tan(2A＋2B)的值.例 7 将下列各式写成 Asin(ωx＋φ)的形式．(1)sin x－cos x；(2)sin＋cos.[玩转跟踪]1.(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；(2)tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1).2.已知 sin＝，0
