解答题专题复习导数与不等式【例1】已知函数。⑴讨论函数的单调区间和最值；⑵若，证明：。【解答】⑴，当时，；当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为，，无最大值。⑵，令，则（*）令，，当时，；当时，，，即，故原命题成立。⑵设函数，，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，，即总有。而，，令则，，移项后得证。【例2】已知。⑴求的单调区间；⑵时，，使成立，求的取值范围；⑶正数满足，求证：。解：（Ⅰ），，当时，所以，当时，所以，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（II）在有实根，此问题等价于求在的值域，当时，，所以在上递减，在上递增，，又可以趋向，所以的值域为，所以的取值范围为；（III）由（Ⅰ）知在递减，在递增，所以，所以，即①同理②，③，①②③相加得．证明：⑶令，，，故在上单调递增，当时，，在上单调递减，故；当时，，在上单调递增，故。故当时总有，同理，，，故，代入移项得证。【例3】已知函数。⑴当时，求函数的单调区间及的最大值；⑵令，若在定义域上是单调函数，求的取值范围；⑶试比较与的大小并证明你的结论（其中。
