高考导数极值点偏移练习题1.已知函数 f(x)=(x 一 2)ex+a(aeR).(1)试确定函数 f(x)的零点个数；(2)设 X],x2是函数 f(x)的两个零点，证明：X]+x<2.分析】(1)由 fX=0 得 a=(2-x)ex，然后利用导数求出 g(x)=(2-x)ex的单调性即可⑵ 设 x1x，设 F(x)=f(x)-f(2-x)(x>1),然后利用导数可得 F(x)在 121,+oo 递增，F(x)>F(1)=0，即 f(x)>f(2-x)，进而可得 f(x)>f(2-x),22即 f(2-x)vf(x)，再由 f(x)=—g(x)+a 的单调性即可得到 x+x<2.2112详解】(1)由 fx=0 得 a=(2-x)ex，令 g(x)=(2-x)ex,函数 f(x)的零点个数即直线 y=a与曲线 g(x)=(2―x)ex的交点个数,•••gf(x)=-ex由 gx>°得 x<1；由 gx<0 得 x>1，函数g(x)在(—3，1)单调递增，函数g(x)在h+oo 单调递减.当 x=1时，函数 g(x)有最大值，g(x)=g(1)=e，max又当 xV2时，()>，g(2)=0，当 x>2 时，g(x)<0，•••当 a>e时，函数 f(x)没有零点；当 a=e或 a<0 时，函数 f(x)有一个零点；当 0VaVe 时，函数 f(x)有两个零点.(2—x)ex=G...F(x)=(x-2)ex+xe2-x,2.已知：f(x)=lnx，(1)证明：对 x&(0,S，且 x1丰 x2，有f(x)-f(x)2丄 2>x+x122(x-x)12=x+xx令丁=t，只需要证明x(2)由(1)知 a>0，不妨设 x1x,设 F(x)=f(x)-f(2-x)(x>1),12<<由于F(x)=(1—x)(e2-x—◎)，又易知 y=e2-x-ex是减函数,当 x>1 时，有 e2-x-ex
0,所以 F(x)在 1,+QO 递增，F(x)>F(1)=0，即 f(x)>f(2-x).由 x>1 得 f(x)>f(2-x)，又 f(x)=0=f(x)，22221.f(2-x)vf(x)，21由 g(x)=(2-x)ex在(一 8,1)上单调递增，得 f(x)=-g(x)+a在(一。】)单调递减,又 2—x<1，2—x>x，即 x+x<2.22112g(x)=ex-ax3+ax2(a>0)⑵ 若 g(x1)=g(x2)=0，求证：x1+x2>4+2湮.分析】x(1)不妨设 x>x>0，转化为 ln 一>12x2h(t)=lnt-2匕］＞0，求导得到单调性得到答案.t+1x222223．已知函数f(x)=xlnx—2ax2+x(I)若/(x)在(o,*8)内单调递减，求实数 a 的取值范围;（H）若函数 f（x）有两个极值点分别为 X1,x2，证明:1x+x>-122a分析】⑴ 先求得函数的导数，根据函数在（°，*8）上的单调性列不等式，分离常数 a 后利用构造函数法求得 a 的取值范围.（II）将极值点 x,x 代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转12fx]2 亠-1.x 丿 x化为证明一->ln」，利用构造函数法证得上述不等式成立.xx4+12x2详解】I)(x)=lnx+2-4axf（x）在（o,皿）内单调递减,fCx)=lnx+2-4ax<0 在(0,+^)内恒成立,即 4a>H+-在(0,+8)内恒成立.xx()lnx2.()-1-lnx令 g(x)=+—，则 g(x)=—xxx2当 00，即 g(x)在 0,-e/1）-内为增函数;当 x>1时，g'(x)v0，即 g(x)在 e'1,+8|内为减函数.ke丿e)—,+84 丿（口）若函数 f（x）有两个极值点分别为 xi，x2,则 f，(x)=lnx+2-4ax=0 在(0,+8)内有两根 x，x?,e由(I),知°云，只需证明 4am<2a(lnx-lnx
