立体几何存在性问题典型例题VIP免费

立体几何存在性问题一、解答题1．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，..（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.2．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；（Ⅱ）求三棱锥的体积.3．如图，在长方体中，，点在棱上，，点为棱的中点，过的平面与棱交于，与棱交于，且四边形为菱形.(1)证明：平面平面；(2)确定点的具体位置（不需说明理由）,并求四棱锥的体积.4．如图2，已知在四棱锥中，平面平面，底面为矩形.（1）求证：平面平面；（2）若，试求点到平面的距离.5．如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，分别是棱，的中点．（1）证明：平面平面；（2）若四面体的体积为，求线段的长．6．如图，在四棱锥中，，，，.（1）求证：；（2）若，，为的中点．（i）过点作一直线与平行，在图中画出直线并说明理由；（ii）求平面将三棱锥分成的两部分体积的比．7．如图1所示，在梯形中，//，且，，分别延长两腰交于点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2所示．（1）求证：；（2）若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积.8．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．（1）证明：平面平面；（2）若，为棱的中点，，，求四面体的体积．9．如图，在梯形中，,，，四边形是矩形，且平面平面，点在线段上.（1）求证：平面；（2）当为何值时，平面？证明你的结论.10．10．如图，已知菱形的对角线交于点，点为的中点.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.图1图2（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.参考答案1．（1）见解析.（2）见解析.（3）.【解析】分析：（1）在梯形中，过点作作于，可得，所以，由面面，可得出，利用线面垂直的判定定理得平面,进而可得平面平面；（2）在线段上取点，使得，连接，先证明与相似，于是得，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用体积相等可得，，解得.详解：（1）因为面面，面面，，所以面，.故四边形是正方形，所以.在中，，∴.，∴，∴∴.因为，平面，平面.∴平面,平面，∴平面平面.（2）在线段上存在点，使得平面在线段上取点，使得，连接.在中，因为，所以与相似，所以又平面，平面，所以平面.（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用同角相等可得，，可得.点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.2．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）根据面面平行的性质得到，，根据平行关系和长度关系得到点是的中点，点是的中点；（2），因为，所以，进而求得体积.详解：（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，即点是的中点．因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为点是的中点，所以点是的中点，综上：分别是的中点；（Ⅱ）因为，所以，又因为平面平面，所以平面；又因为，所以．点睛:这个题目考查了面面平行的性质应用，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.3．（1）见解析（2）为棱上靠近的三等分点，为棱中点，【解析】分析：(1)要证平面平面，即证平面，即证，；(2)为棱上靠近的三等分点，为棱中点，利用等体积法即可求得结果.详解：(1)在矩形中,,.又平面，.,平...