求函数值域（最值）的方法汇总VIP专享VIP免费

求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点,对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.二、求函数值域（最值）的常用方法1.直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y2=2的值域2222解：22显然函数的值域是：222例2、求函数y2=2－的值域。222解：≥02－≤022－≤2故函数的值域是：[2-∞，22]2222222222222222、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。22解：将函数配方得：y=（x-1）+4，22x2[-1，2]，2由二次函数的性质可知：2当x2=21时，y=2422当x2=2-21，时2=2822故函数的值域是：[242，82]22例42、求函数的值域：解：设，则原函数可化为：.又因为，所以，故，，所以，的值域为.333、判别式法3适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。例5、求函数的值域解：恒成立，函数的定义域为R.由得。①当即时，；②当即时，时，方程恒有实根.且.原函数的值域为.例6、求函数y=x+的值域。解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0333（1）3xR，△=4（y+1）-8y≥0解得：1-≤y≤1+但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。由△≥0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。40≤x≤2，y=x+4≥0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例7、求函数的值域。分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。反解得即知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：。454、函数有界性法4直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。适用类型：一般用于三角函数型，即利用等。例8、求函数y4=4的值域。555555解：由原函数式可得：=555555＞0，＞0555555555555555解得：-51＜y＜1。555555故所求函数的值域为(5-515,515)5.5例9、求函数y5=55的值域。555解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y555555可化为：5sinx（x+β）=3y即sinx（x+β）= x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤≤1555555解得：-≤y≤故函数的值域为[-，]。65、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）例10、求函数的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性（同增异减）知：。例11、求函数y5=55（2≤x≤10）的值域666解：令y=6，=6，则6y，6在[62，6106]上都是增函数。666所以y=y+在[626，106]上是增函数。666当x6=626时，y=6+=6，6当x6=6106时，6=+=33。6故所求函数的值域为：[6，33]。6例12、求函数y=6-的值域。666解：原函数可化为：y=6666...