2010年高三数学高考重点难点讲解：不等式的证明策略

难点 18 不等式的证明策略 不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场(★★★★)已知 a＞0，b＞0，且 a+b=1.求证：(a+ a1)(b+ b1)≥ 425.●案例探究［例 1］证明不等式nn2131211(n∈N*)命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题是一个与自然数 n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从 n=k 到 n=k+1 的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当 n 等于 1 时，不等式左端等于 1，右端等于 2，所以不等式成立；(2)假设 n=k(k≥1)时，不等式成立，即 1+k13121＜2k ，,1211)1(11)1(21121131211kkkkkkkkkk则∴当 n=k+1 时，不等式成立.综合(1)、(2)得：当 n∈N*时，都有 1+n13121＜2n .另从 k 到 k+1 时的证明还有下列证法：用心 爱心 专心,1111212212:.12112,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk又如.12112kkk证法二：对任意 k∈N*，都有：.2)1(2)23(2)12(22131211),1(21221nnnnkkkkkkk因此证法三：设 f(n)=),131211(2nn 那么对任意 k∈N* 都有：01)1(])1(2)1[(11]1)1(2)1(2[1111)1(2)()1(2kkkkkkkkkkkkkkkkfkf∴f(k+1)＞f(k)因此，对任意 n∈N* 都有 f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，∴.2131211nn［例 2］求使yx ≤ayx (x＞0，y＞0)恒成立的 a 的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所...