第 4 课 时 函 数 的 奇 偶 性1 ．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x) 定义域内的任意x 都有 ，则称f (x) 为奇函数；若 ，则称f (x) 为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x) 不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) .② 简单性质：1 ） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.2 ） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.2 ． 与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为 ；②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期 例1. 判断下列函数的奇偶性.（1 ）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (x∈R);(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1 ） x2-1≥0 且1-x2≥0,∴x=±1, 即f(x)的定义域是{-1 ，1}. f （1 ）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2 ）方法一 易知f(x)的定义域为R ，又 f(-x)=log2 ［-x+］=log2=-log2(x+)=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二 易知f(x)的定义域为R ，又 f （-x）+f（x ）=log2 ［-x+］+log2(x+)=log21=0, 即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3 ）由|x-2| ＞0 ，得x≠2.∴f （x ）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.变式训练1 ：判断下列各函数的奇偶性：基础过关典型例题（1 ）f （x ）= （x-2 ）；（2 ）f （x ）=；（3 ）f （x ）=解：（1 ）由≥0 ，得定义域为［-2，2 ），关于原点不对称，故f （x ）为非奇非偶函数.（2 ）由得定义域为（-1，0 ）∪（0 ，1 ）.这时f （x ）=. f （-x）=-∴f （x ）为偶函数.（3 ）x ＜-1时，f （x ）=x+2，-x＞1,∴f （-x）=-（-x）+2=x+2=f（x ）.x ＞1 时，f （x ）=-x+2 ，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).-1≤x≤1时，f （x ）=0，-1≤-x≤1,f （-x）=0=f（x ）.∴对定义域内的每个x 都有f （-x）=f（x ）. 因此f （x ）是偶函数.例2 已知函数f(x), 当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1 ）求证：f(x)是奇函数；（2 ）如果x∈R+ ，f （x ）＜0,并且f(1)=-, 试求f(x)在区间［-2，6 ］上的最值.（1 ）证明： 函数定义域为R ，其定义域关于原点对称. f （x+y ）=f（x ）+f（y ），...
