指数函数单调性的应用指数函数 y=ax (a>0,a≠1),当 a>1 时，在 R 上是增函数；当 0
x2+x+2)N,比较 M 与 N 的大小。分析：（x2+x+2)M与 x2+x+2)N底数相同，比较 M 与 N 的大小，关键是判断底数与 1 的大小关系。解：因为 x2+x+2=（x+)2+≥>1,所以函数 f(t)= (x2+x+2)t在 R 上是增函数，因为（x2+x+2)M> x2+x+2)N,所以 M>N。注：利用指数函数单调性比较两数的大小，如果两个数底不同数应首先化成同底的指数值，再利用指数函数的单调性求解。二、求函数的定义域例 2、函数 y=的定义域是 分析：要使函数有意义，只需被开方的部分大于零。解：要使函数的意义，只需。因为函数 y=在 R 上是增函数，所以只需 x≥2，即函数定义域为{x│x≥2}。 注：此法主要用于解决使函数有意义的式子是含有指数幂的不等式的问题。三、求函数的最值（值域）例 3、求函数 y=的最大值。分析：这是由指数函数参与构成的复合函数，应根据复合函数的单调性规律求解。解：因为函数的定义域为 R，设 u=,因为函数 y=在 R 上是减函数，所以要求函数 y=的最大值，只需求出 u=的最小值 ，u==（x-3)2+8≥8，所以函数 y=的最大值为= .注：此法主要用于处理含有指数函数的复合函数的最值（值域）。四、求参数的值（范围）例 4、是否存在实数 a(a>0,且 a≠1)，使函数 f(x)= 在区间[2，4]上是增函数？如果存在，求出 a 的范围；如果不存在，请说明理由。分析：对于存在型问题，可以先假设存在实数 a，通过推理，如果能求出 a 的范围，则实数a 存在，如果求不出 a 的范围或推出矛盾，则说明 a 存在。解：假设实数 a 存在，设 g(x)=ax2-x.，若 a>1，因为 f(x)= 在区间[2，4]上是增函数，所以 g(x)=ax2-x. 在区间[2，4]上也是增函数，应满足，解得 a≥,所以 a>1. 若 01，使函数 f(x)= 在区间[2，4]上是增函数。注：本题主要利用了复合函数的单调性规律。五、证不等式例 5、求证：。分析：三个幂的幂指数都相同，可以考虑将除到左边，再使用指数函数的单调性证明。证明：原不等式可化为，构造函数,由指数函数在...
