第 3 课 时 不 等 式 证 明 （ 一 ）1 ．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．(1)作差比较法，它的依据是： 它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．(2) 作商比较法，它的依据是：若>0，>0，则它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1 的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．2 ．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．3 ．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．例1. 已知，求证：证法1 ：＝＝＝ >0，>0，∴ 即 证法2 ：典型例题基础过关＝1 ＋∴ 故原命题成立，证毕．变式训练1 ：已知a 、b 、x 、y∈R+ 且＞，x ＞y.求证：＞．解：证法一：( 作差比较法) －＝，又＞且a 、b∈R+ ，∴b ＞a ＞0. 又x ＞y ＞0 ，∴bx＞ay.∴＞0 ，即＞.证法二：( 分析法) x 、y 、a 、b∈R+ ，∴要证＞，只需证明x(y+b) ＞y(x+a) ，即证xb＞ya.由＞＞0 ，∴b ＞a ＞0. 又x ＞y ＞0 ，知xb＞ya显然成立. 故原不等式成立.例2. 已知a 、b∈R+ ，求证：证明： ，因此要证明原不等式成立，则只要证由于所以从而原不等式成立．变式训练2 ：已知a 、b 、cR ，求证：证明：左边－右边＝∴ 例3. 已知△ABC的外接圆半径R ＝1 ，，、、是三角形的三边，令，．求证：证明：又 R ＝1 ， ∴ ∴ ∴ 但的条件是，此时与已知矛盾．∴ 变式训练3 ：若为△ABC的三条边，且，则（ ）A ． B ． C ． D ．答案:D．解析：，又 ∴。例4. 设二次函数，方程的两个根、满足．(1) 当x∈(0 ，x1)时，证明：x
