2010高中数学高考专题讲座：分类讨论思想在解题中的应用

第 6 讲 分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论 4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。二、例题分析例 1.一条直线过点（5，2），且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. B. C. D. 分析：设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a, 当 a=0 时，直线过原点，此时直线方程为 ； 当 时，设直线方程为 ，方程为 。例 2． 分析： 因此，只要根据已知条件，求出 cosA，sinB 即可得 cosC 的值。但是由 sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论对角 A 进行分类。解： 这与三角形的内角和为 180°相矛盾。 例 3.已知圆 x2+y2=4，求经过点 P（2，4），且与圆相切的直线方程。 分析：容易想到设出直线的点斜式方程 y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的用心 爱心 专心充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率 k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点 P 的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点 P 的直线分两种情形：（1）斜率存在时，…（2）斜率不存在… 解（略）：所求直线方程为 3x-4y+10=0 或 x=2例 4. 分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数 a 的取值不同而不同，故需对 a进行分类讨论。 解： 例 5. 分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对 x 分类。 解： 例 6. 分析：这是一个含参数 a 的不等式，...