4.2 两角和与差、二倍角的公式（一）●知识梳理1.C（α+β）的推导角 α 的始边为 Ox，交单位圆于 P1，终边 OP2交单位圆于 P2，角 β 的始边为 OP2，终边交单位圆于 P3，角－β 的始边为 Ox，终边交单位圆于 P4，由||=||，得［cos（α+β）－1］2+sin2（α+β）=［cos （－β）－cosα］2+［sin（－β）－sinα］2.∴cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ.2.S（α±β）、C（α－β）、T（α±β）以及推导线索（1）在 C（α+β）中以－β 代 β 即可得到 C（α－β）.（2）利用 cos（－α）=sinα 即可得到 S（α+β）；再以－β 代 β 即可得到 S（α－β）.（3）利用 tanα=即可得到 T（α±β）.说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.●点击双基1.（2004 年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于A.－B.C.－D.解析：原式=sin17°（－sin43°）+（－sin73°）（－sin47°）=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=.答案：B2.（2005 年春季北京，7）在△ABC 中，已知 2sinAcosB=sinC，那么△ABC 一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析：由 2sinAcosB=sinC 知 2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.∴cosAsinB－sinAcosB=0.∴sin（B－A）=0.∴B=A.答案：B3.的值是A.B.C.D.解析：原式=1===.答案：C4.已知 α∈（0， ），β∈（，π），sin（α+β）=，cosβ=－，则 sinα=_______.解析：由 0＜α＜，＜β＜π，得＜α+β＜.故由 sin（α+β）=，得 cos（α+β）=－.由 cosβ=－，得 sinβ=.∴sinα=sin［（α+β）－β］=sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=·（－）－（－）·=－.答案：－5.△ABC 中，若 b=2a，B=A+60°，则 A=_______.解析：利用正弦定理，由 b=2asinB=2sinAsin（A+60°）－2sinA=0cosA－3sinA=0sin（30°－A）=030°－A=0°（或 180°）A=30°.答案：30°●典例剖析【例 1】 设 cos（α－）=－，sin（－β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）.剖析：=（α－）－（－β）.依上述角之间的关系便可求之.解： ＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由 cos（α－）=－，得 sin（α－）=.由 sin（－β）=，得 cos（－β）=.∴cos（）=cos［（α－）－（－β）］=…=.∴cos（α+β）=2cos2－1=…=－.评述：在已知角的某一三角函数值而求另...
