5.5 向量的应用●知识梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力.特别提示许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点.●点击双基1.若 O 是△ABC 内一点，++=0，则 O 是△ABC 的A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：以、为邻边作平行四边形 OBDC，则=+.又++=0，∴+=－.∴－=.∴O 为 AD 的中点，且 A、O、D 共线.又 E 为 OD 的中点，∴O 是中线 AE 的三等分点，且 OA=AE.∴O 是△ABC 的重心.答案：D2.将椭圆 x2+6y2－2x－12y－13=0 按向量 a 平移，使中心与原点重合，则 a 的坐标是A.（－1，1）B.（1，－1）C.（－1，－1）D.（1，1）解析：椭圆方程变形为（x－1）2+6（y－1）2=20.需按 a=（－1，－1）平移，中心与原点重合.答案：C3.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A（3，1）、B（－1，3），若点 C 满足=α+β，其中 α、β∈R，且 α+β=1，则点 C 的轨迹方程为A.3x+2y－11=0B.（x－1）2+（y－2）2=5C.2x－y=0D.x+2y－5=0解析：C 点满足=α+β且 α+β=1，∴A、B、C 三点共线.∴C 点的轨迹是直线AB.答案：D4.在四边形 ABCD 中，·=0，=，则四边形 ABCD 是A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由·=0 知⊥.由=知 BCAD.∴四边形 ABCD 是矩形.答案：C15.（2004 年全国Ⅱ，理 9）已知平面上直线 l 的方向向量 e=（－， ），点 O（0，0）和 A（1，－2）在 l 上的射影分别是和 A′，则=λe，其中 λ 等于A.B.－C.2D.－2解析：如图所示，令 e 过原点，与 e 方向相反，排除 A、C，验证 D 即可.答案：D●典例剖析【例 1】 已知 a、b 是两个非零向量，当 a+tb（t∈R）的模取最小值时，（1）求 t 的值；（2）求证：b⊥（a+tb）.剖析：利用|a+tb|2=（a+tb）2进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能计算得b· （a+tb）=0，则证得了 b⊥（a+tb）.（1）解：设 a 与 b 的夹角为 θ，则|a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+t2|b|2+2a·（tb）=|a|2+t2|b|2+2t|a||b|cosθ=|b|2（t+cosθ）2+|a|2sin2θ，所以当 t=－cosθ=－=－时，|a+tb|有最小值.（2）证明：因为 b·（a+tb）=b·（a－·b）=a·b－a·b=0，所以 b⊥（a⊥tb）.评注：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带...
